Mostrar que, para qualquer n in N : 4^n+2 é divisível por 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, para qualquer número natural , a expressão é divisível por 3. Isso está ligado ao estudo de divisibilidade e propriedades de potências. Para resolver, vamos usar conceitos de aritmética modular e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expressão ser divisível por 3. Se 4^n + 2 equiv 0 pmod3 é divisível por 3, então o resto da divisão de por 3 deve ser zero. Em termos matemáticos, queremos mostrar que:

Passo 3

Vamos analisar a expressão 4 equiv 1 pmod3 no contexto do módulo 3. Sabemos que 4^n equiv 1^n equiv 1 pmod3 dividido por 3 dá resto 1, então:
Isso significa que qualquer potência de 4 também será congruente a 1 módulo 3:

Passo 4

Agora, substituímos 4^n + 2 equiv 1 + 2 equiv 3 pmod3 na expressão original:
4^n + 2 equiv 0 pmod3
E como , concluímos que:

Resposta

Portanto, para qualquer , é divisível por 3.

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