Mostre: 1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=1 / \cos ^{2}(\theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a identidade trigonométrica
1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}.
Informações relevantes dadas (ou que precisamos usar): a definição da tangente e a identidade pitagórica fundamental entre seno e cosseno. Observação importante sobre domínio: para que a expressão faça sentido devemos ter \cos(\theta)\neq0 (caso contrário \operatorname{tg}(\theta) e 1/\cos(\theta) não estão definidas).

Passo 2

Lembrando a identidade pitagórica básica do círculo trigonométrico:
\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.
Aqui a notação \sin^{2}(\theta) significa (\sin(\theta))^{2} e \cos^{2}(\theta) significa (\cos(\theta))^{2}. Essa identidade vem da relação entre as coordenadas de um ponto no círculo unitário: a abscissa é \cos(\theta), a ordenada é \sin(\theta) e pela equação do círculo unitário vale \cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=1.

Passo 3

Como queremos relacionar coisas com \tan(\theta) e 1/\cos(\theta), é natural dividir a identidade anterior por \cos^{2}(\theta). Isso é válido porque, como já observei, assumimos \cos(\theta)\neq0. Dividindo termo a termo:
\frac{\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}+\frac{\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}.

Passo 4

Simplificando cada fração no lado esquerdo:
\frac{\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=1, \qquad \frac{\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2}.
Pela definição da tangente, \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}. Logo
\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2}=\operatorname{tg}^{2}(\theta).
Substituindo essas simplificações na igualdade obtida no Passo 3 resulta em
\operatorname{tg}^{2}(\theta)+1=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}.

Passo 5

Se preferir uma forma alternativa: definindo \operatorname{sec}(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}, a identidade acima se escreve como
1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta),
que é a forma padrão vista em muitas tabelas de identidades trigonométricas.

Passo 6

Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): tome \theta=\dfrac{\pi}{6}. Então \sin(\theta)=\tfrac{1}{2}, \cos(\theta)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{tg}(\theta)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
Calcule o lado esquerdo:
1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.
Calcule o lado direito:
\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{1}{\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
Os dois lados coincidem, como esperado.

Passo 7

Conclusão: a identidade é consequência direta da identidade pitagórica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 ao dividir por \cos^{2}\theta e usar a definição de \operatorname{tg}(\theta). Boas vibrações — anote essa identidade, ela aparece o tempo todo em exercícios!

Resposta

1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=\dfrac{1}{\cos^{2}(\theta)}