Mostre:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a identidade trigonométrica
Informações relevantes dadas (ou que precisamos usar): a definição da tangente e a identidade pitagórica fundamental entre seno e cosseno. Observação importante sobre domínio: para que a expressão faça sentido devemos ter
(caso contrário
e
não estão definidas).
Passo 2
Lembrando a identidade pitagórica básica do círculo trigonométrico:
Aqui a notação
significa
e
significa
. Essa identidade vem da relação entre as coordenadas de um ponto no círculo unitário: a abscissa é
, a ordenada é
e pela equação do círculo unitário vale
.
Passo 3
Como queremos relacionar coisas com
e
, é natural dividir a identidade anterior por
. Isso é válido porque, como já observei, assumimos
. Dividindo termo a termo:
Passo 4
Simplificando cada fração no lado esquerdo:
Pela definição da tangente,
. Logo
Substituindo essas simplificações na igualdade obtida no Passo 3 resulta em
Passo 5
Se preferir uma forma alternativa: definindo
, a identidade acima se escreve como
que é a forma padrão vista em muitas tabelas de identidades trigonométricas.
Passo 6
Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): tome
. Então
,
e
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Os dois lados coincidem, como esperado.
Passo 7
Conclusão: a identidade é consequência direta da identidade pitagórica
ao dividir por
e usar a definição de
. Boas vibrações — anote essa identidade, ela aparece o tempo todo em exercícios!