Mostre que
1+\tan ^{2} z=\operatorname{sec} ^{2} z

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
1 + \tan^{2}z = \operatorname{sec}^{2}z.
Para isso, vamos usar as definições \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} e \operatorname{sec} z = \frac{1}{\cos z},
além da identidade pitagórica fundamental \sin^{2}z + \cos^{2}z = 1.

Passo 2

Começamos escrevendo
1 + \tan^{2}z = 1 + \frac{\sin^{2}z}{\cos^{2}z} = \frac{\cos^{2}z + \sin^{2}z}{\cos^{2}z}.

Passo 3

Pela identidade pitagórica \sin^{2}z + \cos^{2}z = 1, temos
1 + \tan^{2}z = \frac{1}{\cos^{2}z}.

Passo 4

Como \operatorname{sec} z = \frac{1}{\cos z}, segue que
\operatorname{sec}^{2}z = \frac{1}{\cos^{2}z}.
Portanto,
1 + \tan^{2}z = \operatorname{sec}^{2}z.

Resposta

1 + \tan^{2}z = \operatorname{sec}^{2}z.

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