Mostre que ao aplicar as Equações de Maxwell em regiões do espaço onde não há cargas
e não há correntes de condução
se obtêm uma equação de onda para os campos
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar como, aplicando as Equações de Maxwell em áreas sem cargas elétricas (
) e sem correntes de condução (
), a gente chega numa equação de onda para os campos elétrico
e magnético
. Vamos precisar usar as próprias Equações de Maxwell e um pouco de cálculo vetorial, principalmente o rotacional (del cross) e o divergente (del dot).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo, ou seja, sem cargas e sem correntes:
Como
e
, estamos nesses casos simplificados.
Passo 3
Vamos focar na terceira e quarta equações de Maxwell para chegar à equação de onda. Primeiro, aplique o rotacional (curl) na terceira equação:
Passo 4
Use a identidade vetorial:
. Aplicando isso na esquerda:
Passo 5
Sabemos que
(primeira equação de Maxwell), então a primeira parte do lado esquerdo desaparece:
Passo 6
A quarta equação de Maxwell nos dá
. Substituindo isso na equação:
Passo 7
Simplificando os sinais:
Isso é exatamente a forma da equação de onda para o campo elétrico
, onde a velocidade da onda
é dada por:
Resposta
Aplicando as Equações de Maxwell no vácuo, chegamos nas equações de onda para os campos elétrico e magnético, com a velocidade da luz
.