Mostre que ao aplicar as Equações de Maxwell em regiões do espaço onde não há cargas (rho=0) e não há correntes de condução (jmath=0) se obtêm uma equação de onda para os campos E(x, t) e B(x, t) com c=raiz1mu0 varepsilon0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar como, aplicando as Equações de Maxwell em áreas sem cargas elétricas ( rho=0) e sem correntes de condução ( jmath=0), a gente chega numa equação de onda para os campos elétrico E(x, t) e magnético B(x, t). Vamos precisar usar as próprias Equações de Maxwell e um pouco de cálculo vetorial, principalmente o rotacional (del cross) e o divergente (del dot).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell no vácuo, ou seja, sem cargas e sem correntes:
  1. nabla cdot E = 0
  2. nabla cdot B = 0
  3. nabla times E = -partial Bpartial t
  4. nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Como rho=0 e jmath=0, estamos nesses casos simplificados.

Passo 3

Vamos focar na terceira e quarta equações de Maxwell para chegar à equação de onda. Primeiro, aplique o rotacional (curl) na terceira equação:
nabla times (nabla times E) = nabla times (-partial Bpartial t)

Passo 4

Use a identidade vetorial: nabla times (nabla times A) = nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A. Aplicando isso na esquerda:
nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)

Passo 5

Sabemos que nabla cdot E = 0 (primeira equação de Maxwell), então a primeira parte do lado esquerdo desaparece:
-nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)

Passo 6

A quarta equação de Maxwell nos dá nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t. Substituindo isso na equação:
-nabla^2 E = -partialpartial t ( mu0 varepsilon0 partial Epartial t )

Passo 7

Simplificando os sinais:
nabla^2 E = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Isso é exatamente a forma da equação de onda para o campo elétrico E, onde a velocidade da onda c é dada por:
c = raiz1mu0 varepsilon0

Resposta

Aplicando as Equações de Maxwell no vácuo, chegamos nas equações de onda para os campos elétrico e magnético, com a velocidade da luz c = raiz1mu0 varepsilon0.

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