Mostre que
para todos os estados de uma partícula em uma caixa. Esse resultado é razoável?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Queremos mostrar que
para uma partícula em uma caixa (poço infinito) de comprimento com paredes em e . - Informações importantes que vamos usar:
- As funções próprias (autofunções) do poço infinito são, para
,
e . - A média (valor esperado) da posição em um estado
é
- As funções próprias (autofunções) do poço infinito são, para
- O enunciado também pede: esse resultado é razoável? (ou seja, interpretar fisicamente se faz sentido).
A partir daqui vamos primeiro provar o resultado para os autostados
e, em seguida, examinar se a igualdade vale para um estado arbitrário (superposição de autostados) e discutir a interpretação física.
Passo 2
Prova simples por simetria para um autestado
.
- Calculemos
para o autestado :
- Faça a troca de variável
. Quando temos e quando temos . A integral vira
- Observe que, usando
,
Portanto
.
- Substituindo na integral obtemos
Mas a primeira integral é 1 (normalização), e a segunda é exatamente
. Logo
- Portanto, para qualquer autestado
,
Esse é um argumento muito direto e usa só a simetria do módulo ao redor do ponto médio
.
Passo 3
Cálculo explícito da integral (confirmação alternativa).
- Para reforçar (e mostrar como fazer a conta na prova), podemos calcular a integral explicitamente usando
e integração por partes:
- Use
para escrever
- A primeira integral é
. A segunda integral, por integração por partes, dá zero porque e (detalhes: evaluate e usar ). Assim a integral total vale . - Portanto
, confirmando o resultado.
Passo 4
E para um estado arbitrário (superposição)? escrevemos o estado geral e a média.
- Um estado geral pode ser escrito como superposição das autofunções:
com
.
- O valor esperado de
é
- Separe termos diagonais (
) e fora-diagonais ( ). Para os diagonais já temos . Assim a soma diagonal dá . - Logo
onde
.
Passo 5
Avaliação das integrais fora-diagonais e seleção de paridade (quando elas são nulas).
- Pode-se calcular explicitamente os elementos de matriz
. Usando identidades trigonométricas e integrais (cálculo mostrado em rascunho) chega-se ao resultado prático: -
quando é par. - Quando
é ímpar (ou seja, e têm paridades opostas), tem-se
(isto é real e simétrico em .) -
- Portanto os termos fora-diagonais não são, em geral, todos nulos: existem contribuições quando se misturam autofunções de paridade oposta em relação ao centro
. Essas contribuições oscilam no tempo com freqüência .
Passo 6
Exemplo concreto (mostra que
pode variar no tempo).
- Tome a superposição simples
. Então
Com
encontramos (usando o valor acima para
)
ou seja,
oscila no tempo em torno de
. A amplitude é
.
Passo 7
Conclusão física: é razoável?
- Para qualquer autestado de energia
temos . Isso é totalmente razoável: o potencial (poço infinito) é simétrico em relação ao ponto médio , e os autostados têm densidade de probabilidade simétrica em torno desse ponto, então o valor médio da posição fica no centro. - Para um estado arbitrário (superposição) o valor esperado
não precisa ser em cada instante: os termos de interferência fora-diagonais podem deslocar e fazer oscilar no tempo. Fisicamente isso corresponde a uma “oscilação” da distribuição de probabilidade dentro da caixa — a partícula “balança” em torno do centro se o estado não é um autostado. - Em particular, a média temporal de
(média sobre tempo longo) costuma ser quando os termos oscilatórios se cancelam em média (situação típica se não houver degenerências especiais). Então o centro ainda é o ponto de equilíbrio médio.
Resposta
portanto em geral
pode diferir de
(oscila no tempo); o resultado é razoável: centro para autostados por simetria, mas superposições geram deslocamentos/oscilações.