Mostre que \bar{x}=\frac{a}{2} para todos os estados de uma partícula em uma caixa. Esse resultado é razoável?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Queremos mostrar que \bar{x}=\dfrac{a}{2} para uma partícula em uma caixa (poço infinito) de comprimento a com paredes em x=0 e x=a.
  • Informações importantes que vamos usar:
    • As funções próprias (autofunções) do poço infinito são, para n=1,2,\dots,
    \psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\biggl(\dfrac{n\pi x}{a}\biggr),\qquad 0\le x\le a,e \psi_n(0)=\psi_n(a)=0.
    • A média (valor esperado) da posição em um estado \psi é
    \bar{x}=\langle x\rangle=\int_{0}^{a} \psi^*(x)\,x\,\psi(x)\,dx.
  • O enunciado também pede: esse resultado é razoável? (ou seja, interpretar fisicamente se faz sentido).
A partir daqui vamos primeiro provar o resultado para os autostados \psi_n e, em seguida, examinar se a igualdade vale para um estado arbitrário (superposição de autostados) e discutir a interpretação física.

Passo 2

Prova simples por simetria para um autestado \psi_n.
  • Calculemos \langle x\rangle para o autestado \psi_n:
\langle x\rangle=\int_{0}^{a} \psi_n^*(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx=\int_{0}^{a} x\,|\psi_n(x)|^2\,dx.
  • Faça a troca de variável u=a-x. Quando x=0 temos u=a e quando x=a temos u=0. A integral vira
\langle x\rangle=\int_{a}^{0} (a-u)\,|\psi_n(a-u)|^2\,(-du)=\int_{0}^{a} (a-u)\,|\psi_n(a-u)|^2\,du.
  • Observe que, usando \psi_n(x)=\sqrt{2/a}\sin(n\pi x/a),
\psi_n(a-u)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\biggl(\dfrac{n\pi(a-u)}{a}\biggr) =\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\bigl(n\pi - \tfrac{n\pi u}{a}\bigr) =(-1)^{n+1}\psi_n(u).
Portanto |\psi_n(a-u)|^2=|\psi_n(u)|^2.
  • Substituindo na integral obtemos
\langle x\rangle=\int_{0}^{a} (a-u)\,|\psi_n(u)|^2\,du = a\int_{0}^{a} |\psi_n(u)|^2\,du - \int_{0}^{a} u\,|\psi_n(u)|^2\,du.
Mas a primeira integral é 1 (normalização), e a segunda é exatamente \langle x\rangle. Logo
\langle x\rangle = a - \langle x\rangle \quad\Rightarrow\quad 2\langle x\rangle=a.
  • Portanto, para qualquer autestado \psi_n,
\boxed{\langle x\rangle=\dfrac{a}{2}.}
Esse é um argumento muito direto e usa só a simetria do módulo ao redor do ponto médio x=a/2.

Passo 3

Cálculo explícito da integral (confirmação alternativa).
  • Para reforçar (e mostrar como fazer a conta na prova), podemos calcular a integral explicitamente usando \sin^2 e integração por partes:
\langle x\rangle=\int_{0}^{a} x\left(\dfrac{2}{a}\sin^2\!\biggl(\dfrac{n\pi x}{a}\biggr)\right)dx =\dfrac{2}{a}\int_{0}^{a} x\sin^2\!\biggl(\dfrac{n\pi x}{a}\biggr)dx.
  • Use \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) para escrever
\int_{0}^{a} x\sin^2\!\biggl(\dfrac{n\pi x}{a}\biggr)dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{a} x\,dx - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{a} x\cos\!\biggl(\dfrac{2n\pi x}{a}\biggr)dx.
  • A primeira integral é \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{a^2}{2}=\tfrac{a^2}{4}. A segunda integral, por integração por partes, dá zero porque \sin(2n\pi)=0 e \cos(2n\pi)=1 (detalhes: evaluate \int_0^a x\cos(\alpha x)\,dx e usar \alpha=\tfrac{2n\pi}{a}). Assim a integral total vale \tfrac{a^2}{4}.
  • Portanto \langle x\rangle=(2/a)\cdot (a^2/4)=a/2, confirmando o resultado.

Passo 4

E para um estado arbitrário (superposição)? escrevemos o estado geral e a média.
  • Um estado geral pode ser escrito como superposição das autofunções:
\Psi(x,t)=\sum_{n} c_n e^{-i E_n t/\hbar}\psi_n(x),
com \sum_n |c_n|^2=1.
  • O valor esperado de x é
\langle x\rangle=\int_0^a \Psi^*(x,t)\,x\,\Psi(x,t)\,dx =\sum_{n,m} c_n^* c_m e^{i(E_n-E_m)t/\hbar}\langle\psi_n|x|\psi_m\rangle.
  • Separe termos diagonais ( n=m) e fora-diagonais ( n\ne m). Para os diagonais já temos \langle\psi_n|x|\psi_n\rangle=a/2. Assim a soma diagonal dá \sum_n |c_n|^2 (a/2) = a/2.
  • Logo
\langle x\rangle=\dfrac{a}{2}+\sum_{n\ne m} c_n^* c_m e^{i\omega_{nm} t}\langle\psi_n|x|\psi_m\rangle,
onde \omega_{nm}=(E_n-E_m)/\hbar.

Passo 5

Avaliação das integrais fora-diagonais e seleção de paridade (quando elas são nulas).
  • Pode-se calcular explicitamente os elementos de matriz \langle\psi_n|x|\psi_m\rangle. Usando identidades trigonométricas e integrais (cálculo mostrado em rascunho) chega-se ao resultado prático:
    • \langle\psi_n|x|\psi_m\rangle=0 quando n+m é par.
    • Quando n+m é ímpar (ou seja, n e m têm paridades opostas), tem-se
    \langle\psi_n|x|\psi_m\rangle = -\dfrac{8a\, n m}{\pi^2 (n^2-m^2)^2}.(isto é real e simétrico em n,m.)
  • Portanto os termos fora-diagonais não são, em geral, todos nulos: existem contribuições quando se misturam autofunções de paridade oposta em relação ao centro a/2. Essas contribuições oscilam no tempo com freqüência \omega_{nm}.

Passo 6

Exemplo concreto (mostra que \langle x\rangle pode variar no tempo).
  • Tome a superposição simples \Psi=(\psi_1+\psi_2)/\sqrt{2}. Então
\langle x\rangle(t)=\dfrac{a}{2}+2\Re\!\Bigl(c_1^* c_2 e^{i\omega_{12}t}\langle\psi_1|x|\psi_2\rangle\Bigr).
Com c_1=c_2=1/\sqrt{2} encontramos (usando o valor acima para \langle\psi_1|x|\psi_2\rangle)
\langle x\rangle(t)=\dfrac{a}{2}+\langle\psi_1|x|\psi_2\rangle\cos(\omega_{12}t) =\dfrac{a}{2}-\dfrac{16a}{9\pi^2}\cos(\omega_{12}t),
ou seja, \langle x\rangle(t) oscila no tempo em torno de a/2. A amplitude é \dfrac{16}{9\pi^2}a\approx 0{,}18\,a.

Passo 7

Conclusão física: é razoável?
  • Para qualquer autestado de energia \psi_n temos \langle x\rangle=a/2. Isso é totalmente razoável: o potencial (poço infinito) é simétrico em relação ao ponto médio x=a/2, e os autostados têm densidade de probabilidade simétrica em torno desse ponto, então o valor médio da posição fica no centro.
  • Para um estado arbitrário (superposição) o valor esperado \langle x\rangle não precisa ser a/2 em cada instante: os termos de interferência fora-diagonais podem deslocar e fazer oscilar \langle x\rangle no tempo. Fisicamente isso corresponde a uma “oscilação” da distribuição de probabilidade dentro da caixa — a partícula “balança” em torno do centro se o estado não é um autostado.
  • Em particular, a média temporal de \langle x\rangle (média sobre tempo longo) costuma ser a/2 quando os termos oscilatórios se cancelam em média (situação típica se não houver degenerências especiais). Então o centro ainda é o ponto de equilíbrio médio.

Resposta

\langle x\rangle=\dfrac{a}{2} para qualquer autestado \psi_n.\nPara um estado geral \Psi=\sum_n c_n e^{-iE_n t/\hbar}\psi_n vale
\langle x\rangle=\dfrac{a}{2}+\sum_{n\ne m} c_n^* c_m e^{i\omega_{nm}t}\langle\psi_n|x|\psi_m\rangle,
portanto em geral \langle x\rangle pode diferir de \dfrac{a}{2} (oscila no tempo); o resultado é razoável: centro para autostados por simetria, mas superposições geram deslocamentos/oscilações.

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