Mostre que, se um campo vetorial
é conservativo e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que, se temos um campo vetorial
que é conservativo, e as funções
,
e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então certas igualdades entre essas derivadas parciais devem valer. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja:
Isso significa que
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos explorar as relações entre as derivadas parciais de
,
e
. Como
,
e
são derivadas parciais de
, podemos aplicar a igualdade das derivadas mistas de
. Isso quer dizer que:
Isso implica que:
Similarmente, podemos fazer o mesmo para as outras combinações de derivadas parciais.
Passo 4
Aplicando essa lógica para as outras componentes, temos:
e
Essas igualdades confirmam que as derivadas parciais cruzadas de
,
e
são iguais quando o campo é conservativo e as derivadas são contínuas.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é um campo vetorial conservativo com derivadas parciais contínuas de primeira ordem, então: