Mostre que o conjunto
é um subspaço vetorial do
. Observe que
é uma reta que passa pela origem (passar pela origem significa
. Na verdade, os subespaços do
são precisamente
e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se
satisfaz os três critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores
e
em
, então a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, temos:
Somando as duas equações:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor
em
e um escalar
, então o vetor
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
. Além disso, os subespaços de
são: o conjunto
, todas as linhas que passam pela origem, todos os planos que passam pela origem, e o próprio espaço
.