- Mostre que as curvas
e
possuem o mesmo traço, mas velocidades diferentes. Relacione este fato com o conceito de mudança de parâmetro.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no plano:
-
, parâmetro . -
, parâmetro .
O que se pede:
- Mostrar que as curvas têm o mesmo traço (mesma imagem no plano).
- Mostrar que têm velocidades diferentes (ou seja, módulos das derivadas distintos).
- Relacionar isso com o conceito de mudança de parâmetro (reparametrização).
Passo 2
Definição prática usada: o traço (ou imagem) de uma curva
é o conjunto
. Vou determinar
e
.
Para
: qualquer ponto
da imagem satisfaz
para algum
. Logo
, que é exatamente o círculo unidade
Explicação rápida:
, então todos os pontos gerados estão em
; e para todo ponto de
existe um
tal que
,
.
Passo 3
Para
: qualquer ponto da imagem tem a forma
para algum
. Se eu chamar
, então
varia em todo
quando
varia em
. Portanto
Conclusão dos passos 2 e 3:
. Assim as curvas têm o mesmo traço (ambas descrevem o círculo unidade).
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas (velocidades vetoriais) das curvas. Relembrando: a derivada de
é
e de
é
. Aplicando componente a componente:
Para
:
Para
: use a regra da cadeia (derivada de
é
, etc.):
Passo 5
Cálculo das velocidades (módulos das derivadas). A velocidade é
.
Para
:
Portanto a velocidade de
é constante e igual a
.
Para
:
Portanto a velocidade de
é constante e igual a
.
Conclusão: as velocidades são diferentes:
e
.
Passo 6
Agora relaciono isso com mudança de parâmetro. Observe que podemos escrever
como composição de
com a função
dada por
. De fato:
ou seja
. A função
é suave e tem derivada
(sempre não nula).
Aplicando a regra da cadeia à derivada:
Tomando normas:
No nosso caso
e
, portanto
, que coincide com o cálculo direto.
Passo 7
Interpretações e observações intuitivas (estilo amigo que encoraja):
- As duas curvas descrevem o mesmo conjunto de pontos (o círculo unitário), mas com velocidades diferentes porque uma é uma reparametrização da outra por
. - Geometricamente: quando
aumenta de a , faz voltas completas no círculo (porque vai de a ), enquanto faz 1 volta quando vai de a . Em outras palavras, percorre o traço mais rapidamente e com multiplicidade 2. - O sinal de
determina a orientação: se a orientação é preservada; se a orientação inverte. No nosso caso , logo ambas percorrem o círculo no mesmo sentido (por exemplo, anti-horário). - Em geral, uma mudança de parâmetro
suave e com transforma a velocidade por um fator e não altera o traço (apenas muda como e com que velocidade esse traço é percorrido).
Resposta
As duas curvas têm o mesmo traço:
.
As velocidades são diferentes:
e
.
Relação por mudança de parâmetro:
com
; pela regra da cadeia
, o que explica por que os módulos das velocidades diferem por
.