1. Mostre que as curvas \alpha(t)=(\cos t, \sin t) e \beta(s)=(\cos (2 s), \sin (2 s)) possuem o mesmo traço, mas velocidades diferentes. Relacione este fato com o conceito de mudança de parâmetro.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no plano:
  • \alpha(t)=(\cos t,\sin t), parâmetro t\in\mathbb{R}.
  • \beta(s)=(\cos(2s),\sin(2s)), parâmetro s\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  1. Mostrar que as curvas têm o mesmo traço (mesma imagem no plano).
  2. Mostrar que têm velocidades diferentes (ou seja, módulos das derivadas distintos).
  3. Relacionar isso com o conceito de mudança de parâmetro (reparametrização).

Passo 2

Definição prática usada: o traço (ou imagem) de uma curva \gamma é o conjunto \operatorname{Im}(\gamma)=\{\gamma(u)\mid u\in\text{domínio}\}í. Vou determinar \operatorname{Im}(\alpha) e \operatorname{Im}(\beta).
Para \alpha: qualquer ponto (x,y) da imagem satisfaz
x=\cos t,\qquad y=\sin t
para algum t. Logo \operatorname{Im}(\alpha)=\{(\cos t,\sin t)\mid t\in\mathbb{R}\}, que é exatamente o círculo unidade
S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}.
Explicação rápida: \cos^2 t+\sin^2 t=1, então todos os pontos gerados estão em S^1; e para todo ponto de S^1 existe um t tal que x=\cos t, y=\sin t.

Passo 3

Para \beta: qualquer ponto da imagem tem a forma (\cos(2s),\sin(2s)) para algum s. Se eu chamar \theta=2s, então \theta varia em todo \mathbb{R} quando s varia em \mathbb{R}. Portanto
\operatorname{Im}(\beta)=\{(\cos\theta,\sin\theta)\mid \theta\in\mathbb{R}\}=S^1.
Conclusão dos passos 2 e 3: \operatorname{Im}(\alpha)=\operatorname{Im}(\beta)=S^1. Assim as curvas têm o mesmo traço (ambas descrevem o círculo unidade).

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas (velocidades vetoriais) das curvas. Relembrando: a derivada de \cos é -\sin e de \sin é \cos. Aplicando componente a componente:
Para \alpha:
\alpha'(t)=\bigl(-\sin t,\\ \cos t\bigr).
Para \beta: use a regra da cadeia (derivada de \cos(2s) é -\sin(2s)\cdot 2, etc.):
\beta'(s)=\bigl(-2\sin(2s),\\\ 2\cos(2s)\bigr).

Passo 5

Cálculo das velocidades (módulos das derivadas). A velocidade é \|\gamma'\|=\sqrt{(\text{componente }x')^2+(\text{componente }y')^2}.
Para \alpha:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1.
Portanto a velocidade de \alpha é constante e igual a 1.
Para \beta:
\|\beta'(s)\|=\sqrt{(-2\sin(2s))^2+(2\cos(2s))^2}=\sqrt{4\sin^2(2s)+4\cos^2(2s)}=\sqrt{4}=2.
Portanto a velocidade de \beta é constante e igual a 2.
Conclusão: as velocidades são diferentes: \|\alpha'(t)\|=1 e \|\beta'(s)\|=2.

Passo 6

Agora relaciono isso com mudança de parâmetro. Observe que podemos escrever \beta como composição de \alpha com a função \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por \varphi(s)=2s. De fato:
\beta(s)=\bigl(\cos(2s),\sin(2s)\bigr)=\alpha(2s)=\alpha(\varphi(s)),
ou seja \beta=\alpha\circ\varphi. A função \varphi é suave e tem derivada \varphi'(s)=2 (sempre não nula).
Aplicando a regra da cadeia à derivada:
\beta'(s)=(\alpha\circ\varphi)'(s)=\varphi'(s)\,\alpha'(\varphi(s)).
Tomando normas:
\|\beta'(s)\|=|\varphi'(s)|\,\|\alpha'(\varphi(s))\|.
No nosso caso |\varphi'(s)|=2 e \|\alpha'\|=1, portanto \|\beta'(s)\|=2\cdot 1=2, que coincide com o cálculo direto.

Passo 7

Interpretações e observações intuitivas (estilo amigo que encoraja):
  • As duas curvas descrevem o mesmo conjunto de pontos (o círculo unitário), mas com velocidades diferentes porque uma é uma reparametrização da outra por \varphi(s)=2s.
  • Geometricamente: quando s aumenta de 0 a 2\pi, \beta faz 2 voltas completas no círculo (porque 2s vai de 0 a 4\pi), enquanto \alpha faz 1 volta quando t vai de 0 a 2\pi. Em outras palavras, \beta percorre o traço mais rapidamente e com multiplicidade 2.
  • O sinal de \varphi'(s) determina a orientação: se \varphi'(s)>0 a orientação é preservada; se \varphi'(s)<0 a orientação inverte. No nosso caso \varphi'(s)=2>0, logo ambas percorrem o círculo no mesmo sentido (por exemplo, anti-horário).
  • Em geral, uma mudança de parâmetro \varphi suave e com \varphi'\neq 0 transforma a velocidade por um fator |\varphi'| e não altera o traço (apenas muda como e com que velocidade esse traço é percorrido).

Resposta

As duas curvas têm o mesmo traço: \operatorname{Im}(\alpha)=\operatorname{Im}(\beta)=S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}.
As velocidades são diferentes: \|\alpha'(t)\|=1 e \|\beta'(s)\|=2.
Relação por mudança de parâmetro: \beta=\alpha\circ\varphi com \varphi(s)=2s; pela regra da cadeia \beta'(s)=\varphi'(s)\,\alpha'(\varphi(s)), o que explica por que os módulos das velocidades diferem por |\varphi'(s)|=2.

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