Mostre que: (A^dag>=r)^dag>=r=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se a gente aplicar duas vezes a operação de adjunto conjugado em uma matriz $ A $, a gente volta exatamente na matriz $ A $ original. A matéria aqui é álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o adjunto conjugado de uma matriz e como ele se comporta quando aplicamos a operação duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o adjunto conjugado de uma matriz. Para uma matriz $ A $, o adjunto conjugado, denotado por $ A^{\dagger} $, é a matriz resultante ao transpor $ A $ e depois tomar o conjugado de cada elemento. Ou seja, se $ A $ tem elementos $ a_{ij} $, então $ A^{\dagger} $ tem elementos $ \overline{a_{ji}} $, onde o tracinho em cima indica o conjugado complexo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o adjunto conjugado de novo em $ A^{\dagger} $. Queremos encontrar $ \left(A{\dagger}\right){\dagger} $. Seguindo a definição, isso significa transpor $ A^{\dagger} $ e depois tomar o conjugado de cada elemento.

Passo 4

Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Transpor $ A^{\dagger} $: ao transpor $ A^{\dagger} $, trocamos as linhas pelas colunas, então se $ A^{\dagger} = \overline{A^T} $, então $ \left(A{\dagger}\right)T = \overline{A} $.
  2. Tomar o conjugado novamente: se a gente pega o conjugado de $ \overline{A} $, volta pra $ A $, porque o conjugado do conjugado é o próprio número original.

Passo 5

Então, juntando tudo:
(A^dag>=r)^dag>=r = (A^T)^dag>=r = (A^T)^T = overlineA = A
Isso mostra que ao aplicar o adjunto conjugado duas vezes, a gente retorna à matriz original $ A $.

Resposta

(A^dag>=r)^dag>=r = A

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