Mostre pela definição que
lim x 1 x^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição, que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 1. Aqui estamos trabalhando com limites na matemática e vamos usar a definição de limite (epsilon-delta) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa formalmente dizer que . Segundo a definição de limite, isso quer dizer que para todo número positivo pequeno (epsilon), existe outro número positivo (delta) tal que, se está a menos de de 1 (ou seja, ), então está a menos de de 1 (ou seja, ).

Passo 3

Vamos começar manipulando a expressão |x^2 - 1| = |x - 1||x + 1| para relacionar com . Sabemos que:
Então, se conseguirmos controlar tanto quanto , podemos garantir que .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma forma de limitar |x + 1| <= |x - 1| + 2 < de. Observe que se |x + 1| < de está perto de 1, , então está entre e . Assim:
Para simplificar, vamos escolher , assim:

Passo 5

Voltando à expressão |x^2 - 1| < |x - 1| cdot 3 , temos agora:
3|x - 1| < varepsilon implies |x - 1| < varepsilon3
Queremos que isso seja menor que de, ou seja:
Então, para garantir que , podemos escolher:

Resposta

Portanto, para todo lim x 1 x^2=1 , se escolhermos , sempre teremos que implica . Assim, mostramos pela definição que:

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