Mostre pela definição que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição, que o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a 1. Aqui estamos trabalhando com limites na matemática e vamos usar a definição de limite (epsilon-delta) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa formalmente dizer que
. Segundo a definição de limite, isso quer dizer que para todo número positivo pequeno
(epsilon), existe outro número positivo
(delta) tal que, se
está a menos de
de 1 (ou seja,
), então
está a menos de
de 1 (ou seja,
).
Passo 3
Vamos começar manipulando a expressão
para relacionar com
. Sabemos que:
Então, se conseguirmos controlar tanto
quanto
, podemos garantir que
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma forma de limitar
. Observe que se
está perto de 1,
, então
está entre
e
. Assim:
Para simplificar, vamos escolher
, assim:
Passo 5
Voltando à expressão
, temos agora:
Queremos que isso seja menor que
, ou seja:
Então, para garantir que
, podemos escolher:
Resposta
Portanto, para todo
, se escolhermos
, sempre teremos que
implica
. Assim, mostramos pela definição que: