Mostre pela definição que:
lim x +infty x^2=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto+inftyx^2 = +infty
usando a definição de limite que diz que f(x)to+infty quando xto+infty se, para todo M>0, existe N>0 tal que, sempre que x>N, temos f(x)>M. Aqui f(x)=x^2.

Passo 2

Relembrando a definição formal: dizer que
limxto+inftyx^2 = +infty
significa que
forall M>0,;exists N>0 tal que forall x>Nimplies x^2 > M

Passo 3

Seja dado um M>0. Como M é positivo, raizM está bem definido e é positivo. Escolhemos
N = raizM
Então, sempre que x>N, isto é, x>raizM, temos
x^2 > (raizM)^2 = M
Isso satisfaz exatamente a condição da definição.

Resposta

Pela definição de limite infinito, mostramos que para todo M>0 basta tomar N=raizM para garantir x^2>M sempre que x>N. Portanto
limxto+inftyx^2 = +infty

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