Mostre pela definição que
lim x p a x+b=a p+b

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos, usando a definição de limite, que
lim x p a x + b = a p + b
Isso está relacionado ao conteúdo de limites de funções lineares. Para resolver, vamos seguir a definição formal de limite e aplicar passo a passo de forma bem simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno , existe um número tal que, sempre que , então .
No nosso caso, e queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos calcular |a x + b - (a p + b)| = |a x - a p| = |a| cdot |x - p| :
Isso simplifica a expressão do limite.

Passo 4

Queremos que |x - p| < de. Para isso, podemos escolher |x - p| < de de forma que:
Então, basta resolver para :

Passo 5

Assim, para qualquer |a x + b - (a p + b)| = |a| cdot |x - p| < |a| cdot epsilon|a| = epsilon , escolhemos . Assim, se , então:
Isso confirma que o limite atende à definição.

Resposta

Portanto, mostramos que
lim x p a x + b = a p + b

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