Mostre as desigualdades a seguir a partir de propriedades dos determinantes.
\left|\begin{array}{ccc}z+y & x+z & x+y \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado fornece a matriz e pede para mostrar que o determinante dela é zero. Dados (retirados do enunciado):
\Delta=\left|\begin{array}{ccc} z+y & x+z & x+y \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|
A pergunta é: mostrar que \Delta=0.

Passo 2

Recordando duas propriedades de determinantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Se a operação que fazemos nas colunas (ou nas linhas) é “somar a uma coluna um múltiplo de outra coluna”, então o determinante não muda. Em símbolos: substituir uma coluna C_i por C_i + \lambda C_j não altera o valor do determinante.
  • Se uma linha ou coluna fica com muitos zeros, é vantajoso desenvolver o determinante por essa linha/coluna (expansão), porque o cálculo reduz para determinantes 2\times2.
Vou usar apenas operações do tipo “somar coluna menos outra coluna” (que são casos particulares da primeira propriedade).

Passo 3

Aplicar operações de coluna que não alteram o determinante:
C_1\leftarrow C_1-C_2 \qquad\text{e}\qquad C_2\leftarrow C_2-C_3.
Pela propriedade citada, o determinante permanece o mesmo após essas duas operações. Vou escrever a matriz resultante.

Passo 4

Calcular as novas entradas coluna a coluna.
  • Para C_1-C_2 (primeira coluna nova):
    • Primeira linha: (z+y)-(x+z)=y-x.
    • Segunda linha: x-y.
    • Terceira linha: 1-1=0.
  • Para C_2-C_3 (segunda coluna nova):
    • Primeira linha: (x+z)-(x+y)=z-y.
    • Segunda linha: y-z.
    • Terceira linha: 1-1=0.
  • A terceira coluna permanece igual a C_3:
    • Primeira linha: x+y.
    • Segunda linha: z.
    • Terceira linha: 1.
Assim a matriz fica
\Delta=\left|\begin{array}{ccc} y-x & z-y & x+y \\\ x-y & y-z & z \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|.

Passo 5

Agora desenvolver o determinante pela terceira linha (porque tem dois zeros, o que simplifica muito). A única contribuição vem da posição (3,3). O sinal de cofator em (3,3) é (-1)^{3+3}=+1. Logo
\Delta = 1\cdot \left|\begin{array}{cc} y-x & z-y \\\ x-y & y-z \end{array}\right|.

Passo 6

Calcular o determinante 2\times2:
\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc} y-x & z-y \\\ x-y & y-z \end{array}\right| &= (y-x)(y-z) - (z-y)(x-y). \end{aligned}
Note que (z-y)=-(y-z) e (x-y)=-(y-x). Substituindo:
\begin{aligned} (z-y)(x-y) &= (-(y-z))\cdot (-(y-x))\\\ &= (y-z)(y-x). \end{aligned}
Portanto a diferença fica
(y-x)(y-z) - (z-y)(x-y) = (y-x)(y-z) - (y-z)(y-x)=0.

Passo 7

Como o menor 2\times2 é zero, segue que
\Delta=0.
Concluímos que o determinante da matriz dada é sempre zero, para quaisquer valores de x,y,z.

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