Mostre as desigualdades a seguir a partir de propriedades dos determinantes. \left|\begin{array}{ccc}z+y & x+z & x+y \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado fornece a matriz e pede para mostrar que o determinante dela é zero. Dados (retirados do enunciado):
\Delta=\left|\begin{array}{ccc} z+y & x+z & x+y \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|
A pergunta é: mostrar que \Delta=0.
Passo 2
Recordando duas propriedades de determinantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
Se a operação que fazemos nas colunas (ou nas linhas) é “somar a uma coluna um múltiplo de outra coluna”, então o determinante não muda. Em símbolos: substituir uma coluna C_i por C_i + \lambda C_j não altera o valor do determinante.
Se uma linha ou coluna fica com muitos zeros, é vantajoso desenvolver o determinante por essa linha/coluna (expansão), porque o cálculo reduz para determinantes 2\times2.
Vou usar apenas operações do tipo “somar coluna menos outra coluna” (que são casos particulares da primeira propriedade).
Passo 3
Aplicar operações de coluna que não alteram o determinante:
Agora desenvolver o determinante pela terceira linha (porque tem dois zeros, o que simplifica muito). A única contribuição vem da posição (3,3). O sinal de cofator em (3,3) é (-1)^{3+3}=+1. Logo