Mostre que se existir
, então
é diferenciável em
e
, para todo
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: se a derivada de
em 0,
, existe, então a função
é diferenciável em todos os números reais
e sua derivada em qualquer ponto
,
, é igual a
vezes
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de diferenciabilidade e propriedades de derivadas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função é diferenciável em um ponto se sua derivada existe nesse ponto. O enunciado nos diz que
existe, ou seja,
é diferenciável em
.
Passo 3
Queremos mostrar que
é diferenciável em qualquer
. Para isso, vamos derivar a função e encontrar uma relação para
.
Passo 4
Assumimos que
é diferenciável em um ponto
. Vamos usar a definição de derivada:
Passo 5
Dado que
, substituímos na expressão da derivada:
Passo 6
Isso sugere que a taxa de variação de
em qualquer ponto
é proporcional ao valor de
nesse ponto, com a constante de proporcionalidade sendo
.
Passo 7
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução geral é uma função exponencial. Assim,
deve ter a forma:
Passo 8
Como
é uma função exponencial, sabemos que ela é diferenciável em todos os
, e sua derivada é:
Resposta
Portanto, se
existe, então
é diferenciável em
e para todo
,
.