Mostre que se existir f'(0), então f é diferenciável em R e f'(x) = f'(0) f(x), para todo x em R.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: se a derivada de em 0, , existe, então a função é diferenciável em todos os números reais e sua derivada em qualquer ponto , , é igual a vezes . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de diferenciabilidade e propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é diferenciável em um ponto se sua derivada existe nesse ponto. O enunciado nos diz que existe, ou seja, é diferenciável em .

Passo 3

Queremos mostrar que é diferenciável em qualquer . Para isso, vamos derivar a função e encontrar uma relação para .

Passo 4

Assumimos que é diferenciável em um ponto . Vamos usar a definição de derivada:

Passo 5

Dado que , substituímos na expressão da derivada:

Passo 6

Isso sugere que a taxa de variação de em qualquer ponto é proporcional ao valor de nesse ponto, com a constante de proporcionalidade sendo .

Passo 7

Essa é uma equação diferencial simples cuja solução geral é uma função exponencial. Assim, deve ter a forma:

Passo 8

Como é uma função exponencial, sabemos que ela é diferenciável em todos os , e sua derivada é:

Resposta

Portanto, se existe, então é diferenciável em e para todo , .

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