Mostre que
possui derivadas parciais na origem.
Passo 1
Então, precisamos mostrar que a função
, definida por
possui derivadas parciais na origem
. Para isso, vamos estudar as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem. Precisamos entender o que são derivadas parciais e como calculá-las nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
na origem, denotada por
, mede como
muda quando mudamos apenas
, mantendo
fixo em 0. Matematicamente, ela é definida por:
Vamos calcular esse limite para encontrar
.
Passo 3
Calculando
:
Quando
, temos
.
Sabemos que
. Então, substituindo na definição da derivada parcial:
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
na origem é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
na origem, denotada por
. Ela é definida por:
Vamos calcular esse limite para encontrar
.
Passo 5
Calculando
:
Quando
, temos
.
Sabemos que
. Então, substituindo na definição da derivada parcial:
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
na origem é 0.
Resposta
A função
possui derivadas parciais na origem, ambas iguais a zero: