Mostre que f(x, y) = { (x*y) / (x^2 + y^2), se (x, y) != (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) } possui derivadas parciais na origem.

Passo 1

Então, precisamos mostrar que a função , definida por
possui derivadas parciais na origem . Para isso, vamos estudar as derivadas parciais de em relação a e na origem. Precisamos entender o que são derivadas parciais e como calculá-las nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a na origem, denotada por , mede como muda quando mudamos apenas , mantendo fixo em 0. Matematicamente, ela é definida por:
Vamos calcular esse limite para encontrar .

Passo 3

Calculando :
Quando , temos .
Sabemos que . Então, substituindo na definição da derivada parcial:
Portanto, a derivada parcial de em relação a na origem é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a na origem, denotada por . Ela é definida por:
Vamos calcular esse limite para encontrar .

Passo 5

Calculando :
Quando , temos .
Sabemos que . Então, substituindo na definição da derivada parcial:
Portanto, a derivada parcial de em relação a na origem é 0.

Resposta

A função possui derivadas parciais na origem, ambas iguais a zero:

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