Mostre que se f(z) é holomorfa então f(z) é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função holomorfa f é necessariamente contínua. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada complexa (holomorfia) e o critério \varepsilon - \delta para continuidade.

Passo 2

Por definição, f é holomorfa em z_{0} se existe
f'(z_{0}) \;=\;\lim_{h\to0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}.
Isso significa que podemos escrever, para h\neq0,
\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h} =f'(z_{0})+\epsilon(h),
onde \epsilon(h)\to0 quando h\to0. Multiplicando por h, obtemos
f(z_{0}+h)-f(z_{0}) = f'(z_{0})\,h \;+\;\epsilon(h)\,h.

Passo 3

Agora faça z=z_{0}+h. Então
f(z)-f(z_{0}) = f'(z_{0})\,(z-z_{0}) + \epsilon(z-z_{0})\,(z-z_{0}).
Tomando valor absoluto,
\bigl|f(z)-f(z_{0})\bigr| \le |f'(z_{0})|\,|z-z_{0}| \;+\;|\epsilon(z-z_{0})|\,|z-z_{0}|.

Passo 4

Para provar continuidade em z_{0}, seja dado qualquer \varepsilon>0. Como \epsilon(h)\to0, existe \eta>0 tal que
|\epsilon(h)|<1 \quad\text{sempre que}\quad|h|<\eta.
Escolha \delta=\min\bigl\{\eta,\;\varepsilon/ (|f'(z_{0})|+1)\bigr\}. Se |z-z_{0}|<\delta, então |\epsilon(z-z_{0})|<1 e
|f(z)-f(z_{0})| \le |f'(z_{0})|\,|z-z_{0}| + 1\cdot|z-z_{0}| =\bigl(|f'(z_{0})|+1\bigr)\,|z-z_{0}| <\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}), ou seja, f é contínua em z_{0}.

Resposta

A partir da definição de derivada complexa e de um argumento \varepsilon - \delta, concluímos que toda função holomorfa f é contínua em cada ponto do seu domínio.

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