- Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge para
. O conteúdo usado é decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais:
procuramos
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Igualando coeficientes dá o sistema
Da primeira equação
, logo
e
. Portanto
Passo 3
Considere a soma parcial até
:
Essa soma é telescópica, pois ao escrever os primeiros termos vê-se cancelamento:
Passo 4
Fazendo
aparece