Mostre que a função exponencial e^z é uma bijeção entre a faixa infinita {z: 0 < Im(z) < pi} e o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função exponencial é uma bijeção entre a faixa infinita e o semi-plano superior . Isso envolve entender conceitos de funções bijetoras, que são funções que são ao mesmo tempo injetoras (um para um) e sobrejetoras (sobre). Vamos precisar usar propriedades da função exponencial no campo complexo e entender como ela mapeia conjuntos específicos de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo , onde e são números reais, a função exponencial pode ser escrita como:
Essa forma nos ajuda a entender como atua sobre a parte real e imaginária de .

Passo 3

Vamos analisar o “faixa infinita” . Isso significa que estamos considerando todos os números complexos cujo componente imaginário está entre 0 e . Geometricamente, isso é representado por uma faixa ou tira no plano complexo.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos nessa faixa. Usando a expressão que vimos anteriormente:
Aqui, é a parte real que escala o módulo do número complexo, enquanto está no círculo unitário, representando a direção ou o ângulo.

Passo 5

Como está entre 0 e , é sempre positivo, já que o seno é positivo nesse intervalo. Ou seja, a parte imaginária de será sempre maior que zero:
Isso mostra que a imagem de dessa faixa está sempre no semi-plano superior .

Passo 6

Para mostrar que é injetora nessa faixa, precisamos verificar que se , então . Suponha que e :
Isso implica que e , já que é único para cada no intervalo . Portanto, é injetora nessa faixa.

Passo 7

Para a função ser sobrejetora, precisamos que todo ponto no semi-plano superior seja atingido por algum na faixa . Seja com . Podemos encontrar , onde está em , garantindo que existe um na faixa que mapeia para .

Resposta

Assim, mostramos que a função exponencial é uma bijeção entre a faixa infinita e o semi-plano superior .

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