Mostre que a função módulo f(x)=|x| é contínua em toda a reta real.
a) Mostre que se \lim _{x \rightarrow a} g(x)=L, então \lim _{x \rightarrow a}|g(x)|=|L|.
b) É verdade que se \lim _{x \rightarrow a}|g(x)|=L>0, então \lim _{x \rightarrow a} g(x)=L>0 ou \lim _{x \rightarrow a} g(x)= -L<0 ? Prove ou dê contra exemplo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que f(x)=|x| é contínua em \mathbb{R}. Para isso, vamos:
  1. Provar que se \lim_{x \to a} g(x)=L então \lim_{x\to a}|g(x)|=|L|.
  2. Usar esse resultado com g(x)=x para concluir a continuidade de f.
  3. Responder a pergunta da parte (b), dando um contraexemplo se for falsa.

Passo 2

Prova de (a): querermos \lim_{x\to a}|g(x)|=|L|. Como \lim_{x\to a}g(x)=L, para x próximo de a temos \lvert g(x)-L\rvert pequeno. Usamos a desigualdade triangular na forma
\bigl|\;|g(x)|-|L|\bigr|\le |g(x)-L|.
Como \lim_{x\to a}|g(x)-L|=0, segue que
\lim_{x\to a}\bigl|\;|g(x)|-|L|\bigr|=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to a}|g(x)|=|L|.

Passo 3

Continuidade de f(x)=|x|:
Para mostrar que f é contínua em a, basta ver que
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Tomamos g(x)=x. Como \lim_{x\to a}g(x)=a, aplicando (a) obtemos
\lim_{x\to a}|x|=|a|=f(a).
Isso vale para todo a\in\mathbb{R}, logo f é contínua em \mathbb{R}.

Passo 4

Resposta de (b):
A afirmação “se \lim_{x\to a}|g(x)|=L>0\) então \(\lim_{x\to a}g(x)=L\) ou \(\lim_{x\to a}g(x)=-L\)” é **falsa**. Contraexemplo: \[g(x)= \begin{cases} L,&x\text{ racional},\\\\ -\,L,&x\text{ irracional}. \end{cases}
Aqui |g(x)|=L\] para todo \(x, logo \lim_{x\to a}|g(x)|=L. Mas g(x) oscila entre L e -L indefinidamente perto de a, de modo que \lim_{x\to a}g(x) não existe.

Resposta

(a) \lim_{x\to a}|g(x)|=|L| usando \bigl|\;|g(x)|-|L|\bigr|\le|g(x)-L|.
(b) Não é verdade; contraexemplo dado por
g(x)= \begin{cases} L,&x\text{ racional},\\\\ -\,L,&x\text{ irracional}. \end{cases}

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