(1,5) Mostre que essa função de onda é normalizada.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que uma determinada função de onda está normalizada. Isso faz parte da mecânica quântica, onde as funções de onda descrevem o estado de uma partícula. Para que a função de onda seja fisicamente aceitável, ela precisa ser normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Para isso, vamos precisar integrar o módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço e verificar se o resultado é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Se temos uma função de onda
, ela está normalizada se:
Aqui,
representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a função de onda que precisamos normalizar seja:
Aqui,
é a constante de normalização que precisamos encontrar, e
é o desvio padrão da distribuição.
Passo 4
Vamos calcular o módulo quadrado da função de onda:
Agora, aplicamos a condição de normalização:
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função gaussiana é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Substituindo na condição de normalização:
Resolvendo para
:
Passo 7
Portanto, a constante de normalização
é:
Isso garante que a função de onda
esteja normalizada.
Resposta
Mostramos que a função de onda
está normalizada quando
. Assim, cumprimos a condição de normalização
.