(1,5) Mostre que essa função de onda é normalizada.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que uma determinada função de onda está normalizada. Isso faz parte da mecânica quântica, onde as funções de onda descrevem o estado de uma partícula. Para que a função de onda seja fisicamente aceitável, ela precisa ser normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Para isso, vamos precisar integrar o módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço e verificar se o resultado é 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Se temos uma função de onda integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1 , ela está normalizada se:
Aqui, representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula no ponto .

Passo 3

Agora, vamos supor que a função de onda que precisamos normalizar seja:
psi(x) = A e^-x^22sigma^2
Aqui, é a constante de normalização que precisamos encontrar, e é o desvio padrão da distribuição.

Passo 4

Vamos calcular o módulo quadrado da função de onda:
|psi(x)|^2 = A^2 e^-x^2sigma^2
Agora, aplicamos a condição de normalização:
integral-infty^+infty A^2 e^-x^2sigma^2 , dx = 1

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função gaussiana é:
integral-infty^+infty e^-a x^2 , dx = raizpia
No nosso caso, integral-infty^+infty e^-x^2sigma^2 , dx = sigma raizpi , então:

Passo 6

Substituindo na condição de normalização:
A^2 sigma raizpi = 1
Resolvendo para A^2 = 1sigma raizpi A = 1raizsigma raizpi = (1sigma raizpi)^12 :

Passo 7

Portanto, a constante de normalização A = (1sigma raizpi)^12 é:
Isso garante que a função de onda esteja normalizada.

Resposta

Mostramos que a função de onda está normalizada quando . Assim, cumprimos a condição de normalização .

Exercícios relacionados