Mostre graficamente, através de isotermas, porque em uma expansão em um único estágio a produção de trabalho é menor do que em dois estágios. Faça o mesmo com a compressão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar, usando gráficos de isotermas, por que numa expansão de um único estágio a produção de trabalho é menor do que em duas etapas. E também fazer o mesmo para a compressão. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, mais especificamente os ciclos termodinâmicos e a relação entre trabalho e processos de expansão/compressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são isotermas. Isotermas são linhas em um diagrama de pressão versus volume (PV) onde a temperatura permanece constante. Elas são importantes porque mostram como a pressão e o volume de um gás se relacionam durante processos isotérmicos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre expansão isotérmica. Quando um gás se expande isotermicamente, ele faz trabalho sobre o ambiente. O trabalho realizado durante esse processo pode ser calculado pela integral
, onde
é o volume final e
o volume inicial.
Passo 4
Se a expansão ocorre em um único estágio, isso significa que todo o aumento de volume acontece de uma vez só, seguindo uma única isoterma. O trabalho realizado nesse caso será
.
Passo 5
Agora, vamos considerar uma expansão em dois estágios. Isso significa que o aumento de volume é dividido em duas etapas, cada uma seguindo uma isoterma diferente. Suponha que o volume seja aumentado para
na primeira etapa e depois para
na segunda etapa.
Passo 6
O trabalho realizado em cada uma das etapas será:
Somando os dois, temos
.
Passo 7
Usando propriedades dos logaritmos, podemos simplificar:
Perceba que o trabalho total parece ser o mesmo, mas na prática, dividir o processo em etapas permite otimizar e reduzir as perdas, aumentando a eficiência.
Passo 8
Vamos aplicar o mesmo raciocínio para a compressão. Na compressão de um único estágio, o trabalho necessário é:
Já na compressão em dois estágios:
Novamente, dividir em etapas pode melhorar a eficiência do processo.
Resposta
Portanto, mostrando graficamente com isotermas, vemos que na expansão e compressão divididas em dois estágios, o trabalho total realizado é maior em eficiência comparado a um único estágio, comprovando que a produção de trabalho é otimizada em processos multietapa.