Mostre que há pelo menos seis pessoas na Califórnia (população: 36 milhões) com as mesmas três iniciais que nasceram no mesmo dia do ano (mas não necessariamente no mesmo ano). Suponha que todos tenham três iniciais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa população de
pessoas, existem pelo menos seis indivíduos que compartilham as mesmas três iniciais e nasceram no mesmo dia do ano. Vamos usar o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas).
Passo 2
Cada “gaveta” corresponde a uma combinação de três iniciais e um dia do ano. Há
letras no alfabeto, logo existem
combinações de três iniciais, e
dias possíveis. Portanto o número total de gavetas é
Passo 3
Calculemos
:
Logo há
gavetas possíveis.
Passo 4
Temos
pessoas (pombos) e
gavetas. Pelo Princípio da Casa dos Pombos, alguma gaveta conterá pelo menos
pessoas.
Passo 5
Vamos avaliar a fração:
e portanto
Isso mostra que existe pelo menos uma gaveta com seis ou mais pessoas.
Resposta
Há pelo menos seis pessoas na Califórnia com as mesmas três iniciais que nasceram no mesmo dia do ano.