Mostre que há pelo menos seis pessoas na Califórnia (população: 36 milhões) com as mesmas três iniciais que nasceram no mesmo dia do ano (mas não necessariamente no mesmo ano). Suponha que todos tenham três iniciais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa população de \,36000000 pessoas, existem pelo menos seis indivíduos que compartilham as mesmas três iniciais e nasceram no mesmo dia do ano. Vamos usar o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas).

Passo 2

Cada “gaveta” corresponde a uma combinação de três iniciais e um dia do ano. Há 26 letras no alfabeto, logo existem
26^3
combinações de três iniciais, e 365 dias possíveis. Portanto o número total de gavetas é
26^3 \times 365.

Passo 3

Calculemos 26^3 \times 365:
26^3 = 17576,
17576 \times 365 = 6415240.
Logo há 6415240 gavetas possíveis.

Passo 4

Temos 36000000 pessoas (pombos) e 6415240 gavetas. Pelo Princípio da Casa dos Pombos, alguma gaveta conterá pelo menos
\left\lceil \frac{36000000}{6415240} \right\rceil
pessoas.

Passo 5

Vamos avaliar a fração:
\frac{36000000}{6415240} \approx 5,61,
e portanto
\left\lceil 5,61\right\rceil = 6.
Isso mostra que existe pelo menos uma gaveta com seis ou mais pessoas.

Resposta

Há pelo menos seis pessoas na Califórnia com as mesmas três iniciais que nasceram no mesmo dia do ano.

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