Mostre que se houver 100000000 pessoas no Brasil que ganham salário menores que 1000000 reais, então há duas pessoas que ganharam exatamente a mesma quantia, incluindo os centavos, no ano passado.

Passo 1

O enunciado diz que existem 100000000 pessoas e cada uma recebeu, no ano passado, um salário estritamente menor que \,1000000 reais, com precisão de centavos. O que vamos usar é o princípio da casa dos pombos: se temos mais pombos (pessoas) do que casas (valores possíveis de salário), então ao menos duas pessoas ocupam a mesma casa, ou seja, têm salário idêntico, inclusive nos centavos.

Passo 2

Como o salário é dado com precisão de centavos, podemos converter cada salário numa quantidade inteira de centavos. Se o salário s é menor que 1000000 reais, então o número de centavos
c = 100 \times s
satisfaz
1 \le c \le 99999999,
pois o menor salário possível (não nulo) é R$ 0,01 (ou seja, c=1) e o maior inferior a R$ 999999,99 (ou seja, c=99999999).

Passo 3

O conjunto de valores distintos de c é
\{1,2,\dots,99999999\},
cuja cardinalidade é
\bigl|\{1,2,\dots,99999999\}\bigr| = 99999999.
Cada valor de c corresponde a uma “caixa” que agrupa todas as pessoas que ganharam exatamente aqueles centavos no ano passado.

Passo 4

Temos 100000000 pessoas (pombos) e apenas 99999999 possíveis valores de salário em centavos (casas). Como
100000000 > 99999999,
pelo princípio da casa dos pombos, existe pelo menos uma caixa contendo dois ou mais pombos. Isso significa que há pelo menos duas pessoas que ganharam exatamente o mesmo valor de salário, incluindo os centavos.

Resposta

Existem duas pessoas com salário idêntico, incluindo os centavos.

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