Mostre que a integral de linha do potencial vetor
\mathbf{A} ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{L}=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{A} ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{L}=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer curva fechada
que delimita uma superfície
, vale
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial (em particular o Teorema de Stokes) e a definição de campo magnético em termos do potencial vetor, isto é
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Stokes, que diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da borda
de uma superfície
vale a integral de superfície do rotor de
:
Aqui a orientação de
e de
deve obedecer à regra da mão direita.
Passo 3
Na eletrodinâmica clássica define-se o campo magnético
em termos do potencial vetor
pela relação
Esse é o vínculo fundamental que liga o rotor de
ao campo
.
Passo 4
Substituindo
na igualdade do Teorema de Stokes, obtemos diretamente
Isso mostra que a integral de linha de
em
é exatamente o fluxo magnético de
através de
.