Mostre que a integral de linha do potencial vetor
\mathbf{A} ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{L}=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer curva fechada C que delimita uma superfície S, vale
\oint_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{L} \;=\;\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial (em particular o Teorema de Stokes) e a definição de campo magnético em termos do potencial vetor, isto é \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Stokes, que diz que a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{A} ao longo da borda C de uma superfície S vale a integral de superfície do rotor de \mathbf{A}:
\oint_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{L} =\int_{S}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S}.
Aqui a orientação de C e de d\mathbf{S} deve obedecer à regra da mão direita.

Passo 3

Na eletrodinâmica clássica define-se o campo magnético \mathbf{B} em termos do potencial vetor \mathbf{A} pela relação
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Esse é o vínculo fundamental que liga o rotor de \mathbf{A} ao campo \mathbf{B}.

Passo 4

Substituindo \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B} na igualdade do Teorema de Stokes, obtemos diretamente
\oint_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{L} =\int_{S}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S} =\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Isso mostra que a integral de linha de \mathbf{A} em C é exatamente o fluxo magnético de \mathbf{B} através de S.

Resposta

\oint_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{L} =\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.

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