7.39 Lâminas planas de corrente
\mathbf{K}=30 \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{me}-30 \mathbf{a}{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m} estão posicionadas no espaço livre em x=0,2 e x=-0,2, respectivamente. Para a região -0,2<x<0,2 : a) calcule \mathbf{H}; b) obtenha uma expressão para V_{m} se V_{m}=0 \mathrm{em} P(0,1,0,2,0,3); c) calcule B; d) obtenha uma expressão para \mathbf{A} se \mathbf{A}=0 \mathrm{em} P.

Passo 1

O enunciado nos dá duas lâminas infinitas de densidade de corrente superficial, uma com \mathbf K=30\,\mathbf a_{z} A/m em x=0,2 e outra com \mathbf K=-30\,\mathbf a_{z} A/m em x=-0,2. Para a região -0,2<x<0,2 pede-se:
a) o campo de intensidade de magnetização \mathbf H;
b) o potencial escalar magnético V_{m}, sabendo que V_{m}=0 no ponto de referência P cujas coordenadas são x=0,1, y=0,2, z=0,3;
c) o vetor indução \mathbf B;
d) o potencial vetor \mathbf A, sabendo que \mathbf A=0 em P.
O conteúdo envolve magnetostática, condições de contorno em lâminas de corrente e definição de potenciais magnéticos.

Passo 2

Dentro da região -0,2<x<0,2 não há corrente volumétrica, logo \nabla\times\mathbf H=0 e \mathbf H é constante em cada região. As lâminas produzem descontinuidades em \mathbf H de acordo com
\mathbf n\times(\mathbf H_{2}-\mathbf H_{1})=\mathbf K\,,
onde, para cada lâmina, \mathbf n=\mathbf a_{x} é o vetor normal do “lado 1” para o “lado 2”.
  • Na lâmina em x=-0,2: \mathbf K=-30\,\mathbf a_{z}\Rightarrow\mathbf H_{\text{II}}-\mathbf H_{\text{I}}=\mathbf K\times\mathbf a_{x}=-30\,\mathbf a_{z}\times\mathbf a_{x}=-30\,\mathbf a_{y}.
  • Na lâmina em x=+0,2: \mathbf K=+30\,\mathbf a_{z}\Rightarrow\mathbf H_{\text{III}}-\mathbf H_{\text{II}}=30\,\mathbf a_{z}\times\mathbf a_{x}=30\,\mathbf a_{y}.
    Escolhendo \mathbf H_{\text{I}}=0 para x<-0,2 (campo nulo longe das lâminas) obtém-se
\mathbf H_{\text{II}}=-30\,\mathbf a_{y}\quad\text{(para \(-0,2<x<0,2\))}\,.

Passo 3

Como \nabla\times\mathbf H=0 em -0,2<x<0,2, existe potencial escalar magnético V_{m} tal que \mathbf H=-\nabla V_{m}. Tomando referência V_{m}=0 em P, basta integrar
V_{m}(x,y,z)=-\int_{P}^{(x,y,z)}\mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell =-\bigl(-30\,\mathbf a_{y}\bigr)\cdot\bigl[(x,y,z)-(0,1,0,2,0,3)\bigr] =30\bigl(y-0,2\bigr).

Passo 4

No vácuo \mathbf B=\mu_{0}\mathbf H. Logo, em -0,2<x<0,2,
\mathbf B=\mu_{0}\bigl(-30\,\mathbf a_{y}\bigr)=-30\,\mu_{0}\,\mathbf a_{y}.

Passo 5

Procuramos \mathbf A tal que \nabla\times\mathbf A=\mathbf B=-30\,\mu_{0}\,\mathbf a_{y}. Uma escolha simples é
\mathbf A=30\,\mu_{0}\,x\,\mathbf a_{z},
pois \nabla\times(30\,\mu_{0}\,x\,\mathbf a_{z})= -\frac{\partial}{\partial x}(30\,\mu_{0}\,x)\,\mathbf a_{y} =-30\,\mu_{0}\,\mathbf a_{y}.
Para ajustar \mathbf A(P)=0 com x_{P}=0,1 usamos
\boxed{\mathbf A=30\,\mu_{0}\,\bigl(x-0,1\bigr)\,\mathbf a_{z}\,.}

Resposta

a) \displaystyle \mathbf H=-30\,\mathbf a_{y} A/m para -0,2<x<0,2.
b) \displaystyle V_{m}=30\,(y-0,2).
c) \displaystyle \mathbf B=-30\,\mu_{0}\,\mathbf a_{y}.
d) \displaystyle \mathbf A=30\,\mu_{0}\,(x-0,1)\,\mathbf a_{z}.

Exercícios relacionados