Mostre que se lim x x0 f(x)=0 e existir de tal que f(x)<0 se x0-de e f(x)>0 se x0, então
lim x x0^- 1f(x)=-infty

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente sabe que quando chega perto de , a função se aproxima de 0. Além disso, é negativa quando está um pouco à esquerda de e positiva quando está à direita. A gente quer mostrar que, se se aproxima de pela esquerda, então vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e de comportamento de funções próximas a um ponto.

Passo 2

Sabemos que . Isso significa que à medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez menores em módulo, ou seja, mais próximos de zero.

Passo 3

Como foi dado que existe um tal que para na esquerda de ( ), , isso nos diz que está se aproximando de zero por valores negativos quando se aproxima de pela esquerda.

Passo 4

Agora, vamos analisar . Como está se aproximando de zero por valores negativos, o denominador está ficando cada vez menor em valor absoluto, mas negativo. Quando dividimos 1 por um número que está se aproximando de zero pelo lado negativo, o resultado fica cada vez mais negativo e tende a menos infinito.

Passo 5

Formalmente, podemos escrever:
limx to x0^- 1f(x) = limf(x) to 0^- 1f(x) = -infty
Isso confirma que à medida que se aproxima de zero pelo lado negativo, o inverso de tende a menos infinito.

Resposta

lim x x0^- 1f(x)=-infty

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