Mostre que o limite abaixo não existe.
lim (x, y) (0,0) 3x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0) 3x^2+2y^2 não existe. Estamos lidando com limite de função de duas variáveis, então precisamos verificar se há um valor único de aproximação independente da trajetória até a origem.

Passo 2

Observe que, para (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+2y^2>0. À medida que (x,y)to(0,0), temos x^2+2y^2to0^+, de modo que 3x^2+2y^2 tende a +infty. Isso já indica que a função fica arbitrariamente grande perto da origem.

Passo 3

Para ilustrar de maneira concreta, percorra o caminho y=0. Então
f(x,0)=3x^2+2cdot0^2=3x^2

Passo 4

Quando xto0, claramente 3x^2to+infty. Ou seja, ao longo desse caminho o valor da função diverge.

Passo 5

Bastando um caminho que leve a +infty para provar que não há um limite finito comum a todas as trajetórias, concluímos que o limite não existe como número real.

Resposta

O limite não existe, pois a função diverge para +∞ ao nos aproximarmos de (0,0).

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