Mostre que o limite não existe. lim (x, y, z) (0,0,0) 3 x^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Para isso, vamos usar a ideia de que, se escolhermos caminhos diferentes para chegar ao ponto e obtivermos resultados diferentes, o limite realmente não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: apenas ao longo do eixo 3x^2x^2+0^2+0^2 = 3x^2x^2 = 3 , ou seja, mantendo e . Substituindo esses valores na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de por esse caminho, o limite é 3.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente: por exemplo, 3x^2x^2+x^2+x^2 = 3x^23x^2 = 1 e . Substituindo esses valores na função, ficamos com:
Então, ao nos aproximarmos de por esse segundo caminho, o limite é 1.

Resposta

Como obtivemos 2 valores diferentes (3 e 1) ao nos aproximarmos do ponto por caminhos distintos, isso prova que o limite não existe.

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