Mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+3y^{2}}
e pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida em todos os pontos (x,y) exceto possivelmente onde x^{2}+3y^{2}=0; nesse caso só ocorre em (0,0).
  • O ponto onde devemos estudar o limite é (0,0).
  • O objetivo é provar que não existe um número L que seja o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Entendendo o que significa “limite não existe” em duas variáveis (aula rápida e intuitiva).
Definição prática que vamos usar: se o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a L, então para qualquer caminho (qualquer trajetória) que leve (x,y) a (0,0) o valor de f(x,y) ao longo desse caminho deve tender a L. Logo, uma forma comum de provar que o limite não existe é encontrar duas (ou mais) caminhos que aproximam (0,0) e para os quais os limites das restrições de f são diferentes. Se acharmos caminhos com limites distintos, isso contradiz a existência de um único L, então o limite original não existe.

Passo 3

Escolhendo uma família de caminhos simples e didáticos: retas passando pela origem.
Vamos considerar caminhos da forma y=kx, onde k é uma constante real. Essas retas passam por (0,0) e são fáceis de parametrizar e calcular. A ideia é substituir y=kx em f(x,y) e ver o comportamento quando x\to0.

Passo 4

Substituição de y=kx em f(x,y) e simplificação (passo a passo).
Substituindo temos
f(x,kx)=\frac{2x\cdot(kx)}{x^{2}+3(kx)^{2}}.
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador} = 2kx^{2}, \qquad \text{denominador} = x^{2}+3k^{2}x^{2} = x^{2}(1+3k^{2}).
Dividindo numerador por denominador,
f(x,kx)=\frac{2kx^{2}}{x^{2}(1+3k^{2})}.
Como x^{2}\neq0 para x\neq0, podemos simplificar x^{2}:
f(x,kx)=\frac{2k}{1+3k^{2}} \quad\text{para } x\neq0.

Passo 5

Analisando o resultado obtido ao longo da reta y=kx.
Observe que \dfrac{2k}{1+3k^{2}} é uma constante que depende apenas de k, e não de x. Portanto, ao aproximarmos (x,kx) de (0,0) (isto é, à medida que x\to0), os valores de f(x,kx) permanecem iguais a essa constante. Assim,
\lim_{x\to0} f(x,kx)=\frac{2k}{1+3k^{2}}.

Passo 6

Escolhendo dois valores de k que dão limites diferentes (contradição).
Tomemos, por exemplo, k=0 (eixo x) e k=1 (reta y=x).
  • Para k=0:
\frac{2k}{1+3k^{2}}=\frac{2\cdot 0}{1+3\cdot 0^{2}}=0.
Logo
\lim_{x\to0} f(x,0)=0.
  • Para k=1:
\frac{2k}{1+3k^{2}}=\frac{2\cdot 1}{1+3\cdot 1^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Logo
\lim_{x\to0} f(x,x)=\frac{1}{2}.
Como 0\neq \tfrac{1}{2}, os limites ao longo dessas duas retas são diferentes.

Passo 7

Concluindo rigorosamente que o limite não existe.
Se existisse um número L tal que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, então o limite restrito a qualquer caminho para (0,0) teria que ser também L. Mas vimos que ao longo da reta y=0 o limite é 0 e ao longo da reta y=x o limite é \tfrac{1}{2}. Como esses dois resultados são diferentes, não existe um único L que satisfaça ambas as condições. Portanto há uma contradição, e o limite original não existe.

Passo 8

Comentário final e dica prática para provas (curto e amigável).
Quando uma função de duas variáveis tem forma de quociente homogêneo (mesmo grau no numerador e denominador), substituir por y=kx é uma técnica rápida e poderosa: muitas vezes o x se cancela e resta uma função de k. Se essa função de k assume valores diferentes para diferentes k, então o limite no ponto é inexistente. Boa técnica para guardar para a prova!

Resposta

O limite não existe.