Mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede para mostrar que
não existe.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida em todos os pontos
exceto possivelmente onde ; nesse caso só ocorre em . - O ponto onde devemos estudar o limite é
. - O objetivo é provar que não existe um número
que seja o valor do limite quando se aproxima de .
Passo 2
Entendendo o que significa “limite não existe” em duas variáveis (aula rápida e intuitiva).
Definição prática que vamos usar: se o limite existe e é igual a
, então para qualquer caminho (qualquer trajetória) que leve
a
o valor de
ao longo desse caminho deve tender a
. Logo, uma forma comum de provar que o limite não existe é encontrar duas (ou mais) caminhos que aproximam
e para os quais os limites das restrições de
são diferentes. Se acharmos caminhos com limites distintos, isso contradiz a existência de um único
, então o limite original não existe.
Definição prática que vamos usar: se o limite
Passo 3
Escolhendo uma família de caminhos simples e didáticos: retas passando pela origem.
Vamos considerar caminhos da forma , onde
é uma constante real. Essas retas passam por
e são fáceis de parametrizar e calcular. A ideia é substituir
em
e ver o comportamento quando
.
Vamos considerar caminhos da forma
Passo 4
Substituição de
em
e simplificação (passo a passo).
Substituindo temos
Substituindo temos
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Dividindo numerador por denominador,
Como
para
, podemos simplificar
:
Passo 5
Analisando o resultado obtido ao longo da reta
.
Observe que é uma constante que depende apenas de
, e não de
. Portanto, ao aproximarmos
de
(isto é, à medida que
), os valores de
permanecem iguais a essa constante. Assim,
Observe que
Passo 6
Escolhendo dois valores de
que dão limites diferentes (contradição).
Tomemos, por exemplo, (eixo
) e
(reta
).
Tomemos, por exemplo,
- Para
:
Logo
- Para
:
Logo
Como
, os limites ao longo dessas duas retas são diferentes.
Passo 7
Concluindo rigorosamente que o limite não existe.
Se existisse um número tal que
, então o limite restrito a qualquer caminho para
teria que ser também
. Mas vimos que ao longo da reta
o limite é
e ao longo da reta
o limite é
. Como esses dois resultados são diferentes, não existe um único
que satisfaça ambas as condições. Portanto há uma contradição, e o limite original não existe.
Se existisse um número
Passo 8
Comentário final e dica prática para provas (curto e amigável).
Quando uma função de duas variáveis tem forma de quociente homogêneo (mesmo grau no numerador e denominador), substituir por é uma técnica rápida e poderosa: muitas vezes o
se cancela e resta uma função de
. Se essa função de
assume valores diferentes para diferentes
, então o limite no ponto é inexistente. Boa técnica para guardar para a prova!
Quando uma função de duas variáveis tem forma de quociente homogêneo (mesmo grau no numerador e denominador), substituir por
Resposta
O limite não existe.