1. Mostre matemáticamente como podemos obter a expressao da força magnética sobre uma carga em movimento.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos como chega-se à expressão da força magnética sobre uma carga em movimento, ou seja, à parte magnética da força de Lorentz. O conteúdo envolve a força magnética atuando num elemento de corrente e a relação entre corrente e movimento de cargas.

Passo 2

Sabemos de eletricidade que a força magnética sobre um trecho infinitesimal de fio que carrega corrente é dada por
d\vec{F} = I\,d\vec{\ell}\times \vec{B}
onde I é a corrente, d\vec{\ell} o vetor de comprimento do fio e \vec{B} o campo magnético.

Passo 3

A corrente I é definida como a quantidade de carga que passa por um ponto por unidade de tempo, isto é
I = \frac{dq}{dt},
e o deslocamento infinitesimal dessas cargas num intervalo dt é
d\vec{\ell} = \vec{v}\,dt,
onde \vec{v} é a velocidade das cargas.

Passo 4

Substituindo I e d\vec{\ell} em d\vec{F} temos
d\vec{F} = \frac{dq}{dt}\,\bigl(\vec{v}\,dt\bigr)\times \vec{B} = dq\;\bigl(\vec{v}\times \vec{B}\bigr).
Integrando sobre toda a carga q obtemos
\vec{F} = q\,\bigl(\vec{v}\times \vec{B}\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec{F} = q\,\vec{v}\times \vec{B}

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