Mostre que as matrizes \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) são nilpotentes de M_{2}(R) mas a soma delas não é nilpotente. Deduza, disso, que num anel não comutativo nem sempre o conjunto dos nilpotentes é um ideal. Compare com o exercício 8.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre duas coisas e que se deduza uma consequência:
Deduza, a partir disso, que em um anel não comutativo o conjunto dos elementos nilpotentes nem sempre é um ideal.
Informações dadas: as duas matrizes E e F explicitamente acima. O que se quer provar está em cada item listado.]
Passo 2
Lembra da definição: um elemento x de um anel (ou uma matriz) é dito nilpotente se existe um inteiro n\ge 1 tal que x^{n}=0 (matriz nula). Aqui iremos verificar se existem inteiros n com E^{n}=0 e F^{n}=0. Vou explicar como fazer multiplicação de matrizes 2×2 elemento a elemento, para você poder replicar na prova sem erro.
Para duas matrizes A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}, o produto AB é a matriz cujas entradas são
Portanto S^{2}=I_{2}, a matriz identidade de ordem 2. Como S^{2}=I_{2}\neq 0, nenhum potência positiva de S pode ser a matriz zero (porque S^{2k}=(S^{2})^{k}=I_{2}^{\,k}=I_{2} e S^{2k+1}=S\cdot I_{2}=S). Logo S não é nilpotente.]
Passo 6
Concluímos os fatos pedidos:
E e F são nilpotentes.
E+F não é nilpotente.
Deduza que o conjunto dos elementos nilpotentes de um anel não comutativo pode não ser um ideal: um ideal precisa ser fechado sob soma; aqui temos dois nilpotentes cuja soma não é nilpotente, logo o conjunto dos nilpotentes não é fechado sob soma e portanto não é um ideal (nem mesmo um subgrupo aditivo). Assim exibimos um contra-exemplo simples em M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 7
Comparação com o exercício 8: normalmente, em anéis comutativos o conjunto dos elementos nilpotentes forma um ideal — o chamado nilradical — e é fechado sob soma e sob multiplicação por elementos do anel. O exemplo acima mostra que essa propriedade falha em anéis não comutativos como M_{2}(\mathbb{R}); por isso é importante não transportar propriedades do caso comutativo sem checar a comutatividade.
Resposta
\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} e \displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} são nilpotentes em M_{2}(\mathbb{R}).\n\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} não é nilpotente (pois seu quadrado é I_{2}).\nLogo, em um anel não comutativo o conjunto dos nilpotentes nem sempre é um ideal.\nEm contraste, no caso comutativo (ver exercício 8) os nilpotentes formam um ideal (o nilradical).]