Mostre que as matrizes \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) são nilpotentes de M_{2}(R) mas a soma delas não é nilpotente. Deduza, disso, que num anel não comutativo nem sempre o conjunto dos nilpotentes é um ideal. Compare com o exercício 8.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre duas coisas e que se deduza uma consequência:
  • Mostrar que as matrizes
E=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad F=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}
são nilpotentes em M_{2}(\mathbb{R}).
  • Mostrar que a soma E+F não é nilpotente.
  • Deduza, a partir disso, que em um anel não comutativo o conjunto dos elementos nilpotentes nem sempre é um ideal.
    Informações dadas: as duas matrizes E e F explicitamente acima. O que se quer provar está em cada item listado.]

Passo 2

Lembra da definição: um elemento x de um anel (ou uma matriz) é dito nilpotente se existe um inteiro n\ge 1 tal que x^{n}=0 (matriz nula). Aqui iremos verificar se existem inteiros n com E^{n}=0 e F^{n}=0. Vou explicar como fazer multiplicação de matrizes 2×2 elemento a elemento, para você poder replicar na prova sem erro.
Para duas matrizes A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}, o produto AB é a matriz cujas entradas são
(AB)_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21},\quad (AB)_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22},
(AB)_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21},\quad (AB)_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.
Vamos aplicar essa regra a E e F.]

Passo 3

Calcular E^{2}=E\cdot E. Escrevendo E=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} e aplicando a fórmula das entradas:
(E^{2})_{11}=0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0,
(E^{2})_{12}=0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0,
(E^{2})_{21}=0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
(E^{2})_{22}=0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0.
Portanto
E^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Como E^{2}=0, isso prova que E é nilpotente (com expoente n=2).]

Passo 4

Calcular F^{2}=F\cdot F para F=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}. Usando a mesma fórmula:
(F^{2})_{11}=0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
(F^{2})_{12}=0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
(F^{2})_{21}=1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
(F^{2})_{22}=1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
Logo
F^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
ou seja, F também é nilpotente (com expoente n=2).]

Passo 5

Agora considere a soma S=E+F. Primeiro escrevemos explicitamente:
S=E+F=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Vamos calcular S^{2}. Usando a regra de multiplicação:
S^{2}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0\\[4pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Portanto S^{2}=I_{2}, a matriz identidade de ordem 2. Como S^{2}=I_{2}\neq 0, nenhum potência positiva de S pode ser a matriz zero (porque S^{2k}=(S^{2})^{k}=I_{2}^{\,k}=I_{2} e S^{2k+1}=S\cdot I_{2}=S). Logo S não é nilpotente.]

Passo 6

Concluímos os fatos pedidos:
  • E e F são nilpotentes.
  • E+F não é nilpotente.
Deduza que o conjunto dos elementos nilpotentes de um anel não comutativo pode não ser um ideal: um ideal precisa ser fechado sob soma; aqui temos dois nilpotentes cuja soma não é nilpotente, logo o conjunto dos nilpotentes não é fechado sob soma e portanto não é um ideal (nem mesmo um subgrupo aditivo). Assim exibimos um contra-exemplo simples em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 7

Comparação com o exercício 8: normalmente, em anéis comutativos o conjunto dos elementos nilpotentes forma um ideal — o chamado nilradical — e é fechado sob soma e sob multiplicação por elementos do anel. O exemplo acima mostra que essa propriedade falha em anéis não comutativos como M_{2}(\mathbb{R}); por isso é importante não transportar propriedades do caso comutativo sem checar a comutatividade.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} e \displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} são nilpotentes em M_{2}(\mathbb{R}).\n \displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} não é nilpotente (pois seu quadrado é I_{2}).\nLogo, em um anel não comutativo o conjunto dos nilpotentes nem sempre é um ideal.\nEm contraste, no caso comutativo (ver exercício 8) os nilpotentes formam um ideal (o nilradical).]