Mostre que, se 7 \mid 3 a+2 b, então 7 \mid 4 a-2 b.

Passo 1

O enunciado diz que 7\mid 3a+2b e pede para mostrar que então 7\mid 4a-2b. O conteúdo que vamos usar é o de congruências módulo 7, ou seja, tratar divisibilidade como equivalência de classes.

Passo 2

Da hipótese 7\mid 3a+2b segue a congruência
3a+2b\equiv 0\pmod 7.

Passo 3

Multiplicamos essa congruência por 2:
6a+4b\equiv 0\pmod 7.
Como 6\equiv -1\pmod7, isso vira
-a+4b\equiv0\pmod7 \quad\Longrightarrow\quad a\equiv4b\pmod7.

Passo 4

Agora calculamos 4a-2b em função de b. Substituindo a\equiv4b na expressão:
4a-2b\equiv 4\cdot(4b)-2b=16b-2b=14b\pmod7.
E como 14b é múltiplo de 7, temos
4a-2b\equiv0\pmod7.

Resposta

Portanto, 7\mid 4a-2b.

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