Mostre que não existe um curva contínua, contida no hiperbolóide de duas folhas
que ligue os pontos
e
deste hiperbóide, i.e., o hiperbolóide de duas folhas não é conexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe uma curva contínua contida no hiperbolóide de duas folhas que ligue os pontos
e
. Vou trabalhar com a equação usual do hiperbolóide de duas folhas, que é
As informações dadas são, portanto:
- A superfície
é o conjunto
- Os dois pontos a ligar são
e .
O que se quer provar: não existe uma função contínuacom e . Em outras palavras, não é conexo (tem duas folhas separadas).
Passo 2
Estratégia (explicada de modo simples): supondo que exista tal curva contínua
, vou olhar apenas para a coordenada
dessa curva. A projeção na coordenada
é uma aplicação contínua; a composição dessa projeção com
é uma função contínua
. Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), a imagem contínua de um intervalo conexo é um intervalo, então essa imagem deve conter todos os valores entre
e
, em particular
. Isso implica que existe um ponto da curva com coordenada
. Vou então verificar que não existem pontos de
com
, obtendo contradição.
Antes de aplicar isso, explico cuidadosamente cada peça usada (continuidade da projeção, TVI, substituição na equação).
Passo 3
Definição e continuidade da projeção em
. Defina a aplicação
- Intuitivamente,
pega um ponto e retorna sua terceira coordenada. - Esta função é contínua porque é uma das projeções coordenadas (cada coordenada é uma função polinomial das variáveis). Formalmente, cada coordenada é contínua em
, logo é contínua.
Se
fosse contínua, então a composição
seria contínua (composição de funções contínuas é contínua).
Passo 4
Aplicação do Teorema do Valor Intermediário / imagem conectada. Explico softmente o que vou usar:
- O intervalo
é um conjunto conectado (é um intervalo real). - Uma função contínua envia conjuntos conectados em conjuntos conectados.
- Em
, conjuntos conectados são exatamente intervalos. Portanto a imagem é um intervalo real.
Agora use os valores nos extremos da curva. Como
e
, temos
Logo a imagem contínua contém os valores
e
. Como a imagem é um intervalo, ela contém todos os valores entre
e
. Em particular, contém
. Assim existe
tal que
ou seja, um ponto
com terceira coordenada
.
Passo 5
Contradição pelo facto de não existirem pontos de
com
. Se
, então, substituindo
na equação do hiperbolóide, obtemos
ou seja
Mas o lado esquerdo satisfaz
para quaisquer
, enquanto o lado direito é
. Isso é impossível. Portanto não existe ponto de
com
.
Passo 6
Conclusão por contradição. Da Passo 4 obtivemos que, se existisse uma curva contínua
ligando
a
, então existiria
com
e com terceira coordenada
. Da Passo 5 isso é impossível. Logo a suposição de existência de
é falsa.
Portanto não existe curva contínua contida em
que ligue
a
. Em termos topológicos: o hiperbolóide de duas folhas
tem duas componentes (as duas folhas
e
) e, em particular, não é conexo.
Resposta
Não existe tal curva; o hiperbolóide de duas folhas não é conexo.