Mostre que não existe um curva contínua, contida no hiperbolóide de duas folhas x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 que ligue os pontos (0,0,1) e (0,0,-1) deste hiperbóide, i.e., o hiperbolóide de duas folhas não é conexo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe uma curva contínua contida no hiperbolóide de duas folhas que ligue os pontos (0,0,1) e (0,0,-1). Vou trabalhar com a equação usual do hiperbolóide de duas folhas, que é
- x^{2} - y^{2} + z^{2} = 1.
As informações dadas são, portanto:
  • A superfície S é o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1\}.
  • Os dois pontos a ligar são A=(0,0,1)\in S e B=(0,0,-1)\in S.
    O que se quer provar: não existe uma função contínua \gamma:[0,1]\to S com \gamma(0)=A e \gamma(1)=B. Em outras palavras, S não é conexo (tem duas folhas separadas).

Passo 2

Estratégia (explicada de modo simples): supondo que exista tal curva contínua \gamma, vou olhar apenas para a coordenada z dessa curva. A projeção na coordenada z é uma aplicação contínua; a composição dessa projeção com \gamma é uma função contínua [0,1]\to\mathbb{R}. Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), a imagem contínua de um intervalo conexo é um intervalo, então essa imagem deve conter todos os valores entre 1 e -1, em particular 0. Isso implica que existe um ponto da curva com coordenada z=0. Vou então verificar que não existem pontos de S com z=0, obtendo contradição.
Antes de aplicar isso, explico cuidadosamente cada peça usada (continuidade da projeção, TVI, substituição na equação).

Passo 3

Definição e continuidade da projeção em z. Defina a aplicação
\pi_z:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\qquad \pi_z(x,y,z)=z.
  • Intuitivamente, \pi_z pega um ponto e retorna sua terceira coordenada.
  • Esta função é contínua porque é uma das projeções coordenadas (cada coordenada é uma função polinomial das variáveis). Formalmente, cada coordenada é contínua em \mathbb{R}^3, logo \pi_z é contínua.
Se \gamma:[0,1]\to S\subset\mathbb{R}^3 fosse contínua, então a composição
\pi_z\circ\gamma : [0,1]\to\mathbb{R}
seria contínua (composição de funções contínuas é contínua).

Passo 4

Aplicação do Teorema do Valor Intermediário / imagem conectada. Explico softmente o que vou usar:
  • O intervalo [0,1] é um conjunto conectado (é um intervalo real).
  • Uma função contínua envia conjuntos conectados em conjuntos conectados.
  • Em \mathbb{R}, conjuntos conectados são exatamente intervalos. Portanto a imagem (\pi_z\circ\gamma)([0,1]) é um intervalo real.
Agora use os valores nos extremos da curva. Como \gamma(0)=A=(0,0,1) e \gamma(1)=B=(0,0,-1), temos
(\pi_z\circ\gamma)(0)=\pi_z(A)=1,\qquad (\pi_z\circ\gamma)(1)=\pi_z(B)=-1.
Logo a imagem contínua contém os valores 1 e -1. Como a imagem é um intervalo, ela contém todos os valores entre 1 e -1. Em particular, contém 0. Assim existe t_{0}\in[0,1] tal que
(\pi_z\circ\gamma)(t_{0})=0,
ou seja, um ponto \gamma(t_{0})=(x_{0},y_{0},0)\in S com terceira coordenada 0.

Passo 5

Contradição pelo facto de não existirem pontos de S com z=0. Se (x_{0},y_{0},0)\in S, então, substituindo z=0 na equação do hiperbolóide, obtemos
- x_{0}^{2} - y_{0}^{2} + 0^{2} = 1,
ou seja
- x_{0}^{2} - y_{0}^{2} = 1.
Mas o lado esquerdo satisfaz -x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\le 0 para quaisquer x_{0},y_{0}\in\mathbb{R}, enquanto o lado direito é 1>0. Isso é impossível. Portanto não existe ponto de S com z=0.

Passo 6

Conclusão por contradição. Da Passo 4 obtivemos que, se existisse uma curva contínua \gamma ligando A a B, então existiria t_{0} com \gamma(t_{0})\in S e com terceira coordenada 0. Da Passo 5 isso é impossível. Logo a suposição de existência de \gamma é falsa.
Portanto não existe curva contínua contida em S que ligue (0,0,1) a (0,0,-1). Em termos topológicos: o hiperbolóide de duas folhas
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1\}
tem duas componentes (as duas folhas z\ge 1 e z\le -1) e, em particular, não é conexo.

Resposta

Não existe tal curva; o hiperbolóide de duas folhas não é conexo.