Mostre que
\operatorname{tanh} ^{2} z+\operatorname{sech}^{2} z=1

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre a identidade da trigonometria hiperbólica
Conteúdo: funções hiperbólicas e sua identidade fundamental
Vamos usar as definições de \operatorname{tanh} z e \operatorname{sech}z e a relação
\operatorname{cosh}^{2}z - \operatorname{sinh}^{2}z = 1.

Passo 2

Pela definição temos
\operatorname{tanh} z = \frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}, \qquad \operatorname{sech}z = \frac{1}{\operatorname{cosh} z}.
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\operatorname{tanh}^{2}z + \operatorname{sech}^{2}z = \frac{\operatorname{sinh}^{2}z}{\operatorname{cosh}^{2}z} + \frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}z} = \frac{\operatorname{sinh}^{2}z + 1}{\operatorname{cosh}^{2}z}.

Passo 3

Usando a identidade fundamental da cossecante hiperbólica, reescrevemos o numerador:
\operatorname{sinh}^{2}z + 1 = \operatorname{cosh}^{2}z
porque \operatorname{cosh}^{2}z - \operatorname{sinh}^{2}z = 1.

Passo 4

Substituindo no quociente, obtemos
\operatorname{tanh}^{2}z + \operatorname{sech}^{2}z = \frac{\operatorname{cosh}^{2}z}{\operatorname{cosh}^{2}z} = 1.

Resposta

1

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