Mostre que |A\rangle=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}} \\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right] e |B\rangle=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}} \\\ \frac{-1}{\sqrt{3}}\end{array}\right], são ortogonais, ou seja: \langle A \mid B\rangle=0

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores coluna (notação ket):
|A\rangle=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \qquad |B\rangle=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.
O que se pede é mostrar que eles são ortogonais, isto é, que o produto interno entre o bra correspondente a |A\rangle e o ket |B\rangle vale zero:
\langle A\mid B\rangle=0.]

Passo 2

Vou relembrar a definição do produto interno (bra–ket) para vetores em \mathbb{C}^n. Se
|A\rangle=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\\[2pt]\vdots\end{pmatrix},\qquad |B\rangle=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\\[2pt]\vdots\end{pmatrix},
então o bra \langle A| é o conjugado transposto de |A\rangle e o produto interno é
\langle A\mid B\rangle=\overline{a_1}\,b_1+\overline{a_2}\,b_2+\cdots,
onde \overline{a_i} é o conjugado complexo de a_i. No caso de componentes reais, \overline{a_i}=a_i.]

Passo 3

Identificando as componentes dos vetores dados:
a_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\quad a_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \qquad b_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\quad b_2=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Como todas as componentes são reais, os conjugados são os próprios valores. Logo o produto interno é
\langle A\mid B\rangle=\overline{a_1}\,b_1+\overline{a_2}\,b_2 =\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) +\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
Calculando cada termo:
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{1}{3}, \qquad \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\dfrac{1}{3}.
Somando:
\langle A\mid B\rangle=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0.

Passo 4

Como o produto interno \langle A\mid B\rangle é igual a zero, isso significa que os vetores |A\rangle e |B\rangle são ortogonais. Boa! Isso é exatamente o que se queria mostrar.

Resposta

\langle A\mid B\rangle=0