Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante de uma matriz 6x6 específica é igual a
. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz até que seja fácil calcular o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
Percebemos que a primeira coluna é toda
. Vamos usar operações de subtração de linhas para simplificar a matriz.
Passo 3
Vamos subtrair a primeira linha das demais linhas. Essa operação não altera o determinante, mas ajuda a simplificar a matriz.
- Linha 2:
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 - Linha 3:
- Linha 4:
- Linha 5:
- Linha 6:
Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, observamos que a segunda coluna das linhas 2 a 6 é
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & lambda+1 & 2 & 2 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 . Vamos repetir o processo: subtrair a segunda linha das demais para simplificar ainda mais.
- Linha 3:
- Linha 4:
- Linha 5:
- Linha 6:
Após essa subtração, a matriz fica:
Passo 5
Continuando com esse padrão, vamos agora focar na terceira coluna. As entradas abaixo da diagonal principal são
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1 & 2 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 . Vamos subtrair a terceira linha das demais seguintes:
- Linha 4:
- Linha 5:
- Linha 6:
A matriz se torna:
Passo 6
Vamos seguir repetindo esse processo para as próximas colunas:
- Linha 5:
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1 - Linha 6:
Agora, a matriz fica:
Passo 7
Por fim, vamos subtrair a quinta linha da sexta linha:
- Linha 6:
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & lambda
A matriz finalizada fica:
Passo 8
Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
Resposta
O determinante da matriz dada é igual a
.