Mostre que
|cccccc lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 & 2 lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 & 3 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 & 4 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & 5 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5 |=lambda^6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o determinante de uma matriz 6x6 específica é igual a . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz até que seja fácil calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 & 2 lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 & 3 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 & 4 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & 5 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5
Percebemos que a primeira coluna é toda . Vamos usar operações de subtração de linhas para simplificar a matriz.

Passo 3

Vamos subtrair a primeira linha das demais linhas. Essa operação não altera o determinante, mas ajuda a simplificar a matriz.
  • Linha 2: lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
  • Linha 6:
Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, observamos que a segunda coluna das linhas 2 a 6 é lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & lambda+1 & 2 & 2 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 . Vamos repetir o processo: subtrair a segunda linha das demais para simplificar ainda mais.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
  • Linha 6:
Após essa subtração, a matriz fica:

Passo 5

Continuando com esse padrão, vamos agora focar na terceira coluna. As entradas abaixo da diagonal principal são lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1 & 2 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1 & lambda+2 . Vamos subtrair a terceira linha das demais seguintes:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
  • Linha 6:
A matriz se torna:

Passo 6

Vamos seguir repetindo esse processo para as próximas colunas:
  • Linha 5: lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & lambda+1
  • Linha 6:
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Por fim, vamos subtrair a quinta linha da sexta linha:
  • Linha 6: lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & lambda
A matriz finalizada fica:

Passo 8

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
Determinante = lambda times lambda times lambda times lambda times lambda times lambda = lambda^6

Resposta

O determinante da matriz dada é igual a .

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