Mostre que, se p é primo, então, f(x) = x^p + a em Z_p[x] é redutível sobre Z_p para qualquer a in Z_p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se é um número primo, então a função pertence ao conjunto e é redutível sobre para qualquer em . Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios em módulos com números primos e ver se conseguimos fatorar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto de todos os polinômios cujos coeficientes são inteiros módulo . Ou seja, estamos trabalhando com aritmética onde os números “voltam” a 0 após alcançar .

Passo 3

Agora, para mostrar que é redutível, precisamos encontrar dois polinômios de grau menor que o de que multiplicados dão . Como , nosso objetivo é fatorar esse polinômio.

Passo 4

Lembrando de um teorema importante na álgebra, conhecido como Pequeno Teorema de Fermat, sabemos que para qualquer em , temos . Então, podemos reescrever como no contexto de .

Passo 5

Aplicando isso ao nosso polinômio, temos:
Isso simplifica bastante a nossa função no contexto de .

Passo 6

Agora, é um polinômio de grau 1, que já é considerado irredutível. No entanto, estamos buscando mostrar que é redutível, ou seja, que pode ser expresso como um produto de polinômios de menor grau.

Passo 7

Considerando que em , todo polinômio de grau que se reduz a um polinômio de grau 1 pode ser fatorado como múltiplos de esse polinômio linear. Portanto, podemos escrever:
Aqui, o representa um polinômio constante, o que mostra que é redutível.

Resposta

Assim, mostramos que é redutível sobre para qualquer em .

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