Mostre que, se
é primo, então,
é redutível sobre
para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se
é um número primo, então a função
pertence ao conjunto
e é redutível sobre
para qualquer
em
. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios em módulos com números primos e ver se conseguimos fatorar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa o conjunto de todos os polinômios cujos coeficientes são inteiros módulo
. Ou seja, estamos trabalhando com aritmética onde os números “voltam” a 0 após alcançar
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é redutível, precisamos encontrar dois polinômios de grau menor que o de
que multiplicados dão
. Como
, nosso objetivo é fatorar esse polinômio.
Passo 4
Lembrando de um teorema importante na álgebra, conhecido como Pequeno Teorema de Fermat, sabemos que para qualquer
em
, temos
. Então, podemos reescrever
como
no contexto de
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso polinômio, temos:
Isso simplifica bastante a nossa função no contexto de
.
Passo 6
Agora,
é um polinômio de grau 1, que já é considerado irredutível. No entanto, estamos buscando mostrar que
é redutível, ou seja, que pode ser expresso como um produto de polinômios de menor grau.
Passo 7
Considerando que em
, todo polinômio de grau
que se reduz a um polinômio de grau 1 pode ser fatorado como múltiplos de esse polinômio linear. Portanto, podemos escrever:
Aqui, o
representa um polinômio constante, o que mostra que
é redutível.
Resposta
Assim, mostramos que
é redutível sobre
para qualquer
em
.