Mostre que a parte anti-simétrica do tensor
também é um tensor.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá: uma matriz de componentes
que é um tensor covariante de ordem 2. Ou seja, suas componentes transformam entre coordenadas segundo a regra de tensores (essa é a informação que vamos usar). - Pede: mostrar que a parte anti-simétrica de
, definida como a matriz com componentes , também satisfaz a regra de transformação de um tensor covariante de ordem 2 — isto é, provar que é um tensor.
Passo 2
Definição e propriedades da parte anti-simétrica:
- Definimos a parte anti-simétrica de
por
- Isso garante que
(propriedade anti-simétrica). - Objetivo prático: verificar que, ao passar a outra base/coordenação primada, as componentes
transformam como tensor covariante de ordem 2.
Passo 3
Lembrete da lei de transformação de um tensor covariante de ordem 2:
- Se
é um tensor covariante de ordem 2, então suas componentes na coordenada primada satisfazem
onde se usa a convenção de soma de Einstein sobre os índices repetidos
. Aqui
são as derivadas das coordenadas antigas em função das novas (os elementos da matriz jacobiana da transformação inversa).
Passo 4
Escrevendo a transformação da parte anti-simétrica nas coordenadas primadas:
- Pela definição,
- Substituindo a regra de transformação de
para cada termo, obtemos
Passo 5
Manipulação dos índices somados (renomear dummies) para fatorar a transformação:
- Nos somatórios acima os índices
são índices “dummies” (soma sobre todos os valores possíveis). Podemos, portanto, trocar os nomes de soma no segundo termo: faça no segundo termo. Isso transforma
- Como os fatores escalares na multiplicação comutam, podemos reescrever o segundo termo como
- Substituindo de volta em
e fatorando , obtemos
Passo 6
Identificação final e conclusão:
- O fator entre parênteses é exatamente a definição da parte anti-simétrica em coordenadas originais, ou seja
. - Logo temos
- Essa é exatamente a regra de transformação de um tensor covariante de ordem 2. Portanto a parte anti-simétrica
é um tensor.