Mostre que a parte anti-simétrica do tensor \mathrm{T}_{\mathrm{ik}} também é um tensor.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá: uma matriz de componentes \mathrm{T}_{ik} que é um tensor covariante de ordem 2. Ou seja, suas componentes transformam entre coordenadas segundo a regra de tensores (essa é a informação que vamos usar).
  • Pede: mostrar que a parte anti-simétrica de \mathrm{T}_{ik}, definida como a matriz com componentes \mathrm{A}_{ik}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}_{ik}-\mathrm{T}_{ki}\bigr), também satisfaz a regra de transformação de um tensor covariante de ordem 2 — isto é, provar que \mathrm{A}_{ik} é um tensor.

Passo 2

Definição e propriedades da parte anti-simétrica:
  • Definimos a parte anti-simétrica de \mathrm{T}_{ik} por
\mathrm{A}_{ik}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}_{ik}-\mathrm{T}_{ki}\bigr).
  • Isso garante que \mathrm{A}_{ik}=-\mathrm{A}_{ki} (propriedade anti-simétrica).
  • Objetivo prático: verificar que, ao passar a outra base/coordenação primada, as componentes \mathrm{A}_{ik} transformam como tensor covariante de ordem 2.

Passo 3

Lembrete da lei de transformação de um tensor covariante de ordem 2:
  • Se \mathrm{T}_{ik} é um tensor covariante de ordem 2, então suas componentes na coordenada primada satisfazem
\mathrm{T}'_{ik}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\mathrm{T}_{pq},
onde se usa a convenção de soma de Einstein sobre os índices repetidos p,q. Aqui \dfrac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}} são as derivadas das coordenadas antigas em função das novas (os elementos da matriz jacobiana da transformação inversa).

Passo 4

Escrevendo a transformação da parte anti-simétrica nas coordenadas primadas:
  • Pela definição,
\mathrm{A}'_{ik}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}'_{ik}-\mathrm{T}'_{ki}\bigr).
  • Substituindo a regra de transformação de \mathrm{T} para cada termo, obtemos
\mathrm{A}'_{ik}=\tfrac{1}{2}\Biggl( \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\mathrm{T}_{pq} - \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,k}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,i}}\mathrm{T}_{pq} \Biggr).

Passo 5

Manipulação dos índices somados (renomear dummies) para fatorar a transformação:
  • Nos somatórios acima os índices p,q são índices “dummies” (soma sobre todos os valores possíveis). Podemos, portanto, trocar os nomes de soma no segundo termo: faça p\leftrightarrow q no segundo termo. Isso transforma
\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,k}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,i}}\mathrm{T}_{pq} \quad\longrightarrow\quad \frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\mathrm{T}_{qp}.
  • Como os fatores escalares na multiplicação comutam, podemos reescrever o segundo termo como
\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\mathrm{T}_{qp}.
  • Substituindo de volta em \mathrm{A}'_{ik} e fatorando \dfrac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}, obtemos
\mathrm{A}'_{ik}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}} \cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}_{pq}-\mathrm{T}_{qp}\bigr).

Passo 6

Identificação final e conclusão:
  • O fator entre parênteses é exatamente a definição da parte anti-simétrica em coordenadas originais, ou seja \tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}_{pq}-\mathrm{T}_{qp}\bigr)=\mathrm{A}_{pq}.
  • Logo temos
\mathrm{A}'_{ik}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\mathrm{A}_{pq}.
  • Essa é exatamente a regra de transformação de um tensor covariante de ordem 2. Portanto a parte anti-simétrica \mathrm{A}_{ik} é um tensor.

Resposta

\mathrm{A}_{ik}=\tfrac{1}{2}\bigl(\mathrm{T}_{ik}-\mathrm{T}_{ki}\bigr) e \mathrm{A}'_{ik}=\dfrac{\partial x^{p}}{\partial x'^{\,i}}\dfrac{\partial x^{q}}{\partial x'^{\,k}}\mathrm{A}_{pq}, logo a parte anti-simétrica é um tensor.