Mostre o que se pede abaixo
  • (a) Mostre que se B, M in Mn(K), com M invertível, então (M^-1 B M)^k=M^-1 B^k M

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se tivermos duas matrizes e em (ou seja, matrizes quadradas de ordem com entradas no campo ), e se for invertível, então a expressão é igual a . Vamos precisar usar propriedades de matrizes invertíveis e potências de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma matriz é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso é importante porque nos permite “desfazer” multiplicações por .

Passo 3

Agora, queremos calcular . Vamos entender o que isso significa. Quando elevamos uma matriz a uma potência, estamos multiplicando a matriz por ela mesma vezes.

Passo 4

Para simplificar (M^-1 B M)^k = underbrace(M^-1 B M) (M^-1 B M) cdots (M^-1 B M)k vezes , vamos multiplicar a expressão por ela mesma vezes:

Passo 5

Observando essa multiplicação, percebemos que entre cada (M^-1 B M)^k = M^-1 B underbraceM M^-1I B cdots underbraceM M^-1I B M e consecutivos, temos , que é igual à matriz identidade :

Passo 6

Como (M^-1 B M)^k = M^-1 B I B I cdots I B M , a expressão simplifica para:
(M^-1 B M)^k = M^-1 B^k M
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece a mesma, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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