Mostre que o potencial eletrostático 
  de um dipolo elétrico pontual constituído pelo par de cargas 
  separado pela distância 
 , obtido em um ponto localizado por 
  no espaço é dado por,
 
sendo 
  o momento de dipolo elétrico pontual.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico pontual, que é formado por duas cargas iguais e opostas, 
  e 
 , separadas por uma distância 
 . Queremos mostrar que o potencial eletrostático 
  desse dipolo em um ponto qualquer no espaço, representado por 
 , é dado pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de potencial eletrostático, momento de dipolo elétrico e o princípio da superposição das cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático 
  devido a uma carga pontual 
  em um ponto 
  é dado por:
onde 
  é a posição da carga 
 .
Passo 3
Como temos um dipolo, que é composto por duas cargas: 
  em uma posição 
  e 
  em uma posição 
 , o potencial total no ponto 
  é a soma dos potenciais das duas cargas:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, assumimos que a distância 
  entre as cargas é muito pequena comparada à distância 
  do ponto onde estamos calculando o potencial. Isso permite usar uma aproximação de série de Taylor para expandir o potencial.
Primeiro, escrevemos 
 .
Usando a aproximação de que 
  é pequena, expandimos 
  em série de Taylor:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do potencial total, temos:
As primeiras duas parcelas se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, definimos o momento de dipolo elétrico 
  como:
Substituindo isso na expressão do potencial, obtemos:
Resposta
Assim, demonstramos que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico pontual é dado por