Mostre que:
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido é igual a \rho g h.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a pressão exercida na base de uma coluna de líquido é igual a \rho g h.
Informações que o enunciado dá (ou que precisamos assumir para o problema fazer sentido):
  • \rho é a massa específica (densidade) do líquido, assumida constante ao longo da coluna.
  • h é a altura (profundidade) da coluna de líquido medida entre a superfície livre e a base onde se quer a pressão.
  • g é a aceleração da gravidade (assumida constante).
  • A coluna de líquido está em repouso (equilíbrio estático).
  • A pressão na superfície superior pode ser algum valor p_{\text{top}} (por exemplo a pressão atmosférica). O enunciado costuma referir-se à pressão adicional exercida pelo líquido; portanto vamos distinguir entre pressão absoluta na base e a pressão relativa (gauge).
O problema pede, portanto, demonstrar a relação entre a pressão na base e esses parâmetros.

Passo 2

Definições físicas e ideia geral (sem ainda fazer contas):
  • Pressão é força por unidade de área. Em símbolos: a pressão p aplicada sobre uma área A gera uma força F = pA.
  • Massa específica \rho é massa por unidade de volume. Em símbolos: massa m de um volume V é m=\rho V.
  • O peso de um volume de fluido de massa m é m g.
    Ideia para a demonstração: isolar a coluna de líquido como um corpo livre e escrever o equilíbrio de forças verticais sobre ela. As forças verticais são: a força devida à pressão na base, a força devida à pressão na superfície superior e o peso da coluna. Como o fluido está em repouso, a soma vetorial dessas forças deve ser zero.

Passo 3

Escolher uma forma geométrica simples para a coluna (a área da base pode ser arbitrária):
  • Considere uma coluna cilíndrica de líquido com área de base A e altura h. A escolha de cilindro é só para facilitar contagem de forças; a relação final não depende de A.
    Listar as forças verticais sobre essa coluna:
  • Força para cima aplicada pela pressão da base: F_{\text{base}} = p_{\text{base}} A.
  • Força para baixo aplicada pela pressão na superfície superior: F_{\text{top}} = p_{\text{top}} A.
  • Peso da coluna (para baixo): W = m g, e a massa m é \rho vezes o volume. Volume da coluna: V = A h. Logo W = \rho A h g.

Passo 4

Aplicar equilíbrio de forças verticais (soma das forças = 0) — explicando sinais:
  • Escolhendo sentido para cima como positivo, a força resultante é:
F_{\text{res}} = F_{\text{base}} - F_{\text{top}} - W.
  • Em equilíbrio estático temos F_{\text{res}}=0. Substituindo as expressões:
p_{\text{base}} A - p_{\text{top}} A - \rho A h g = 0.

Passo 5

Isolar p_{\text{base}} e simplificar:
  • Dividindo a equação anterior por A (que é diferente de zero) obtemos
p_{\text{base}} - p_{\text{top}} - \rho h g = 0.
  • Isolando p_{\text{base}}:
p_{\text{base}} = p_{\text{top}} + \rho g h.
Esta é a relação geral: a pressão na base é a pressão na superfície mais \rho g h.

Passo 6

Interpretação prática e caso usual:
  • Se a superfície superior está exposta à atmosfera, então p_{\text{top}}=p_{\text{atm}}. Muitas vezes fala-se apenas na “pressão exercida pela coluna de líquido” entendendo a pressão adicional além da atmosfera (pressão relativa ou gauge). Nesse caso a pressão adicional fornecida pelo líquido é
\Delta p = p_{\text{base}} - p_{\text{atm}} = \rho g h.
  • Portanto a expressão pedida \rho g h corresponde à pressão exercida pela coluna (ou ao acréscimo de pressão devido ao líquido) quando se toma como referência a pressão na superfície.

Passo 7

Derivação alternativa (mais “diferencial”, útil para casos com variação de altura):
  • Considere uma lâmina horizontal infinitesimal de espessura dz a profundidade z. Forças sobre a lâmina: pressão por baixo p(z+dz)A para cima, pressão por cima p(z)A para baixo, e peso do volume entre z e z+dz que é \rho A g\,dz para baixo.
  • Equilíbrio:
p(z+dz)A - p(z)A - \rho A g\,dz = 0.
  • Dividindo por A\,dz e passando ao limite dz\to0 obtém-se
\frac{dp}{dz} = -\rho g.
  • Integrando de z=0 (superfície) até z=h (base):
p(h)-p(0) = -\int_{0}^{h} \rho g\,dz = -\rho g h,
o que dá novamente
p_{\text{base}} = p_{\text{top}} + \rho g h.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para dar intuição:
  • Para água com \rho=1{,}0\times10^{3}\\ \text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, g=9{,}8\\ \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2} e h=10\\ \text{m},
\rho g h = (1{,}0\times10^{3})(9{,}8)(10)=9{,}8\times10^{4}\\ \text{Pa}\approx0{,}97\,p_{\text{atm}}.
Isso mostra que 10\\ \text{m} de água gera pressão aproximadamente igual a uma atmosfera adicional — por isso às vezes diz-se “10 metros de coluna d’água ≈ 1 atm”.

Resposta

\rho g h

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