Mostre que:
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido é igual a
.
a pressão exercida na base de uma coluna de líquido é igual a
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a pressão exercida na base de uma coluna de líquido é igual a
.
Informações que o enunciado dá (ou que precisamos assumir para o problema fazer sentido):
-
é a massa específica (densidade) do líquido, assumida constante ao longo da coluna. -
é a altura (profundidade) da coluna de líquido medida entre a superfície livre e a base onde se quer a pressão. -
é a aceleração da gravidade (assumida constante). - A coluna de líquido está em repouso (equilíbrio estático).
- A pressão na superfície superior pode ser algum valor
(por exemplo a pressão atmosférica). O enunciado costuma referir-se à pressão adicional exercida pelo líquido; portanto vamos distinguir entre pressão absoluta na base e a pressão relativa (gauge).
O problema pede, portanto, demonstrar a relação entre a pressão na base e esses parâmetros.
Passo 2
Definições físicas e ideia geral (sem ainda fazer contas):
- Pressão é força por unidade de área. Em símbolos: a pressão
aplicada sobre uma área gera uma força . - Massa específica
é massa por unidade de volume. Em símbolos: massa de um volume é . - O peso de um volume de fluido de massa
é .
Ideia para a demonstração: isolar a coluna de líquido como um corpo livre e escrever o equilíbrio de forças verticais sobre ela. As forças verticais são: a força devida à pressão na base, a força devida à pressão na superfície superior e o peso da coluna. Como o fluido está em repouso, a soma vetorial dessas forças deve ser zero.
Passo 3
Escolher uma forma geométrica simples para a coluna (a área da base pode ser arbitrária):
- Considere uma coluna cilíndrica de líquido com área de base
e altura . A escolha de cilindro é só para facilitar contagem de forças; a relação final não depende de .
Listar as forças verticais sobre essa coluna: - Força para cima aplicada pela pressão da base:
. - Força para baixo aplicada pela pressão na superfície superior:
. - Peso da coluna (para baixo):
, e a massa é vezes o volume. Volume da coluna: . Logo .
Passo 4
Aplicar equilíbrio de forças verticais (soma das forças = 0) — explicando sinais:
- Escolhendo sentido para cima como positivo, a força resultante é:
- Em equilíbrio estático temos
. Substituindo as expressões:
Passo 5
Isolar
e simplificar:
- Dividindo a equação anterior por
(que é diferente de zero) obtemos
- Isolando
:
Esta é a relação geral: a pressão na base é a pressão na superfície mais
.
Passo 6
Interpretação prática e caso usual:
- Se a superfície superior está exposta à atmosfera, então
. Muitas vezes fala-se apenas na “pressão exercida pela coluna de líquido” entendendo a pressão adicional além da atmosfera (pressão relativa ou gauge). Nesse caso a pressão adicional fornecida pelo líquido é
- Portanto a expressão pedida
corresponde à pressão exercida pela coluna (ou ao acréscimo de pressão devido ao líquido) quando se toma como referência a pressão na superfície.
Passo 7
Derivação alternativa (mais “diferencial”, útil para casos com variação de altura):
- Considere uma lâmina horizontal infinitesimal de espessura
a profundidade . Forças sobre a lâmina: pressão por baixo para cima, pressão por cima para baixo, e peso do volume entre e que é para baixo. - Equilíbrio:
- Dividindo por
e passando ao limite obtém-se
- Integrando de
(superfície) até (base):
o que dá novamente
Passo 8
Exemplo numérico rápido para dar intuição:
- Para água com
, e ,
Isso mostra que
de água gera pressão aproximadamente igual a uma atmosfera adicional — por isso às vezes diz-se “10 metros de coluna d’água ≈ 1 atm”.