Mostre que o princípio de incerteza para uma partícula com movimento harmônico simples pode ser escrito como:
Faça uma breve análise deste resultado e mostre que ele está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg, que diz que o produto das indeterminações nas medidas de
e
é, na melhor das hipóteses, igual à
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no oscilador harmônico quântico unidimensional no estado de número quântico
, o produto das incertezas em posição e momento satisfaz
Para isso vamos usar:
– Definição de incerteza em um observável :
– Definição de incerteza em um observável
– Os valores de expectativa para o oscilador harmônico no estado
:
,
,
,
.
Passo 2
Cálculo de
. Como
,
Passo 3
Cálculo de
. Como
,
Passo 4
Produto
:
Se quisermos escrever isso na forma dada no enunciado, basta observar que
.
Passo 5
Análise e comparação com Heisenberg.
O princípio de incerteza de Heisenberg afirma
O princípio de incerteza de Heisenberg afirma
Do resultado do oscilador harmônico obtivemos
que para
dá exatamente
, e para
dá valores maiores que
. Portanto, o oscilador harmônico quântico satisfaz
e atinge a igualdade apenas no estado fundamental.
e atinge a igualdade apenas no estado fundamental.