Mostre que o princípio de incerteza para uma partícula com movimento harmônico simples pode ser escrito como:
\Delta x \cdot \Delta p=\left(n+\frac{1}{2}\right) 2 \hbar
Faça uma breve análise deste resultado e mostre que ele está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg, que diz que o produto das indeterminações nas medidas de \Delta x e \Delta p é, na melhor das hipóteses, igual à \hbar / 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no oscilador harmônico quântico unidimensional no estado de número quântico n, o produto das incertezas em posição e momento satisfaz
\Delta x\;\Delta p = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\,2\hbar.
Para isso vamos usar:
– Definição de incerteza em um observável A:
\Delta A = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2}\,.
– Os valores de expectativa para o oscilador harmônico no estado \lvert n\rangle: \langle x\rangle=0, \langle x^2\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1), \langle p\rangle=0, \langle p^2\rangle = \frac{\hbar m\omega}{2}(2n+1).

Passo 2

Cálculo de \Delta x. Como \langle x\rangle=0,
\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}\,(2n+1)}\,.

Passo 3

Cálculo de \Delta p. Como \langle p\rangle=0,
\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle} = \sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}\,(2n+1)}\,.

Passo 4

Produto \Delta x\,\Delta p:
\Delta x\,\Delta p = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1)\;\times\;\frac{\hbar m\omega}{2}(2n+1)} = \frac{2n+1}{2}\,\hbar = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\,\hbar.
Se quisermos escrever isso na forma dada no enunciado, basta observar que \bigl(n+\tfrac12\bigr)2\hbar = 2\,(n+\tfrac12)\hbar.

Passo 5

Análise e comparação com Heisenberg.
O princípio de incerteza de Heisenberg afirma
\Delta x\,\Delta p \;\ge\;\frac{\hbar}{2}\,.
Do resultado do oscilador harmônico obtivemos
\Delta x\,\Delta p = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar,
que para n=0 dá exatamente \hbar/2, e para n>0 dá valores maiores que \hbar/2. Portanto, o oscilador harmônico quântico satisfaz \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2
e atinge a igualdade apenas no estado fundamental.

Resposta

\Delta x\,\Delta p = (n+\tfrac12)\,\hbar, o que equivale a (n+\tfrac12)\,2\hbar conforme o enunciado, e satisfaz sempre \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2, em acordo com o princípio de Heisenberg.

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