Mostre que qualquer subgrupo
do grupo aditivo dos números inteiros
é da forma
para algum
.
Passo 1
O enunciado dá:
é um subgrupo do grupo aditivo
. Ou seja,
e
satisfaz:
-
. - Se
então . - Se
então .
O que se pede: mostrar que existe um inteiro
(com
) tal que
Observações a colher do enunciado (informações relevantes):
-
pode ser o subgrupo trivial ou pode conter inteiros diferentes de zero. - Se
contém algum inteiro não nulo , então contém também , e portanto contém um inteiro positivo (ou ou é positivo).
Passo 2
Caso trivial:
.
- Se
então porque . - Neste caso basta tomar
(note que alguns autores incluem em ; se a convenção do curso excluir , pode-se dizer “para algum ”, mas a demonstração funciona igualmente). Vou continuar tratando também o caso não trivial.
Passo 3
Suponha
. Então existe
com
. Como
também, pelo menos um entre
e
é positivo. Logo o conjunto
é não vazio. Aqui usei explicitamente a informação de que, a partir de um elemento não nulo em
, obtém-se um elemento positivo em
.
Agora uso o Princípio do Bom Ordenamento (bem conhecido para
): todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Aplicando isso ao conjunto
(que é um subconjunto não vazio de
), existe um menor elemento
. Portanto escolhemos
Este
é um inteiro positivo e pertence a
.
Passo 4
Mostrar
.
- Como
e é fechado por soma, para qualquer tem-se . - Para
negativo, usa-se o inverso: se com , então .
Assim, todo múltiplo inteiro depertence a . Concluímos
Passo 5
Mostrar
. Seja
qualquer. Aplicamos o Algoritmo da Divisão (teorema da divisão inteira): existem inteiros
e
com
Explicando o que isto significa:
é o quociente inteiro de
por
e
é o resto, com
menor que
em magnitude e não negativo. O Algoritmo da Divisão garante existência e unicidade desses
dados
e
.
Agora note que
(pelo Passo 4) e
, então subtraindo obtemos
porque
é fechado por soma e por inversos. Então
e
. Mas lembrando a escolha de
como o menor inteiro positivo em
, não pode haver em
um inteiro positivo menor que
. Logo necessariamente
.
Com
obtemos
, isto é
. Como
era um elemento arbitrário de
, concluímos
.
Passo 6
Juntando as inclusões do Passo 4 e do Passo 5 obtemos
Isto mostra que, no caso
, existe
tal que
. No caso trivial
já vimos que
. Portanto, em todo caso existe
(ou
se a convenção incluir
) com
.
Comentário final (curiosidade didática): o inteiro
é único e é exatamente o menor inteiro positivo de
; assim
é um subgrupo cíclico gerado por
,
.