Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a raio espectral de
, que é representado por
, é igual a
. Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com teoria espectral, que estuda os valores próprios e o raio espectral de matrizes ou operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio espectral. Ele é definido como o maior valor absoluto entre os valores próprios de uma matriz ou operador. Ou seja,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios de
. Vamos supor que
seja uma matriz ou operador específico, e queremos resolver a equação característica:
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 4
Supondo que já saibamos os valores próprios de
, digamos que eles sejam
. Então, o raio espectral será o maior entre os valores absolutos desses
.
Passo 5
Para mostrar que
, precisamos verificar que nenhum valor próprio de
tem módulo maior que
, e que pelo menos um valor próprio tem módulo exatamente igual a
.
Passo 6
Finalmente, após analisar os valores próprios de
e verificar que o maior entre eles em módulo é
, concluímos que: