Mostre que são logicamente equivalentes:
\neg p \rightarrow(q \rightarrow r) \quad e \quad q \rightarrow(p \vee r).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas fórmulas da lógica proposicional
\neg p \rightarrow (q \rightarrow r)
e
q \rightarrow (p \vee r)
são logicamente equivalentes. Para isso, vamos usar as seguintes equivalências conhecidas:
  1. Eliminação da implicação:
\alpha \rightarrow \beta \equiv \neg \alpha \vee \beta.
  1. Comutatividade e associatividade da disjunção: a ordem dos termos em \vee não altera o valor lógico.

Passo 2

Aplicando eliminação de implicação em \neg p \rightarrow (q \rightarrow r), temos
\neg p \rightarrow (q \rightarrow r) \equiv \neg(\neg p) \vee (q \rightarrow r) \equiv p \vee (q \rightarrow r).

Passo 3

Agora eliminamos a implicação interna q \rightarrow r:
q \rightarrow r \equiv \neg q \vee r.
Substituindo em p \vee (q \rightarrow r), obtemos
p \vee (\neg q \vee r) \equiv p \vee \neg q \vee r.

Passo 4

Repetimos o processo para a segunda fórmula q \rightarrow (p \vee r):
q \rightarrow (p \vee r) \equiv \neg q \vee (p \vee r) \equiv \neg q \vee p \vee r.

Passo 5

Como ambas as fórmulas se reduzem à mesma disjunção
p \vee \neg q \vee r,
e a disjunção é comutativa/associativa, concluímos que
\neg p \rightarrow (q \rightarrow r) \quad\text{e}\quad q \rightarrow (p \vee r)
têm exatamente a mesma tabela-verdade.

Resposta

As duas fórmulas são logicamente equivalentes, pois ambas são equivalentes a
p \vee \neg q \vee r.

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