Mostre que são tautologias usando tabelas verdade:
(O item a) é a regra de inferência mais básica, utilizada toda hora.)
(p \wedge(p \rightarrow q)) \rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula
(p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q
é uma tautologia, ou seja, seu valor-verdade é sempre verdadeiro, independentemente dos valores de verdade de p e q. Vamos usar o método da tabela-verdade, que consiste em listar todas as combinações possíveis de p e q e calcular passo a passo cada parte da expressão.

Passo 2

Listamos as quatro combinações de valores de verdade de p e q e preparamos as colunas intermediárias:
p q p \rightarrow q p \wedge (p \rightarrow q) (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q
V V
V F
F V
F F

Passo 3

Calculamos p \rightarrow q. Lembrando que p \rightarrow q é falso somente quando p é V e q é F:
p q p \rightarrow q
V V V
V F F
F V V
F F V

Passo 4

Agora obtemos p \wedge (p \rightarrow q). A conjunção é verdadeira só quando ambos os operandos são V:
p q p \rightarrow q p \wedge (p \rightarrow q)
V V V V
V F F F
F V V F
F F V F

Passo 5

Finalmente, calculamos (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q. Uma implicação A \rightarrow B é falsa apenas quando A é V e B é F; nos demais casos é V:
p q p \wedge (p \rightarrow q) (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V

Resposta

Como em todas as quatro linhas o valor de (p \wedge (p \rightarrow q)) \rightarrow q é V, concluímos que a fórmula é uma tautologia.

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