Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(d) O conjunto do plano
.
(d) O conjunto do plano
Passo 1
Vamos mostrar que o conjunto
não é um espaço vetorial. Para isso, vamos utilizar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos dois vetores do conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto. O mesmo vale para multiplicação de um vetor por um número real.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade da adição. Considere dois vetores do conjunto:
e
, onde
.
Passo 4
Somando esses dois vetores, temos:
Passo 5
Para que o resultado dessa soma pertença ao conjunto, deve existir um
tal que:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando, obtemos:
Isso implica que ou
ou
.
Passo 7
Portanto, a soma de dois vetores do conjunto só pertence ao conjunto se pelo menos um dos vetores for o vetor nulo
. Isso significa que, em geral, o conjunto não é fechado sob adição.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial porque não é fechado sob adição.