Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(d) O conjunto do plano (x, y) in R^2:(x, y)=(t, t^2), t in R.

Passo 1

Vamos mostrar que o conjunto não é um espaço vetorial. Para isso, vamos utilizar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos dois vetores do conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto. O mesmo vale para multiplicação de um vetor por um número real.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade da adição. Considere dois vetores do conjunto: e , onde .

Passo 4

Somando esses dois vetores, temos:
(t1, t1^2) + (t2, t2^2) = (t1 + t2, t1^2 + t2^2)

Passo 5

Para que o resultado dessa soma pertença ao conjunto, deve existir um t1 + t2 = t e t1^2 + t2^2 = t^2 tal que:

Passo 6

Substituindo t1^2 + t2^2 = (t1 + t2)^2 = t1^2 + 2t1 t2 + t2^2 na segunda equação:
0 = 2t1 t2
Simplificando, obtemos:
Isso implica que ou ou .

Passo 7

Portanto, a soma de dois vetores do conjunto só pertence ao conjunto se pelo menos um dos vetores for o vetor nulo . Isso significa que, em geral, o conjunto não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não é fechado sob adição.

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