Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Divergente:
Divergente:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a forma do divergente de um campo vetorial
em coordenadas esféricas
. Vamos usar o formalismo de coordenadas curvilíneas ortogonais, em que cada direção tem um “fator de escala”
. A partir da expressão geral do divergente nessas coordenadas, identificamos os fatores de escala esféricos e obtemos as fórmulas solicitadas.
Passo 2
Em coordenadas curvilíneas ortogonais
com fatores de escala
, o divergente de
é
Nossa meta é aplicar isso a
.
Passo 3
Para coordenadas esféricas temos:
e
. Também
Passo 4
Substituindo na fórmula geral:
Agora vamos simplificar cada termo.
Passo 5
Desenvolvendo e reorganizando:
Somando tudo, obtemos a forma compacta:
Passo 6
Para ver também a forma expandida em termos de derivadas parciais simples, expandimos o primeiro termo e o segundo:
Juntando tudo: