Mostre os seguintes operadores diferenciais em coordenadas esféricas:
Divergente:
nabla cdot V & =partial Vrpartial r+2r Vr+1r partial Vthetapartial theta+1r cos thetasen theta Vtheta+1r sen theta partial Vvarphipartial varphi & =1r^2 partialpartial r(r^2 Vr)+1r sen theta partialpartial theta(sen theta Vtheta)+1r sen theta partialpartial varphi Vvarphi

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a forma do divergente de um campo vetorial vec V em coordenadas esféricas (r,theta,varphi). Vamos usar o formalismo de coordenadas curvilíneas ortogonais, em que cada direção tem um “fator de escala” hi. A partir da expressão geral do divergente nessas coordenadas, identificamos os fatores de escala esféricos e obtemos as fórmulas solicitadas.

Passo 2

Em coordenadas curvilíneas ortogonais (u^1,u^2,u^3) com fatores de escala h1,h2,h3, o divergente de vec V = V^1hat e1+V^2hat e2+V^3hat e3 é
nablacdotvec V =1h1h2h3sumi=1^3 partialpartial u^il(h1h2h3,V^ihir)
Nossa meta é aplicar isso a (u^1,u^2,u^3)=(r,theta,varphi).

Passo 3

Para coordenadas esféricas temos:
hr=1, htheta=r, hvarphi=rsintheta,
e vec V=Vrhat er+Vthetahat etheta+Vvarphihat evarphi. Também
hrhtheta hvarphi = r^2sintheta

Passo 4

Substituindo na fórmula geral:
nablacdotvec V =1r^2sinthetagl[ partialpartial rl(r^2sintheta,Vrr) +partialpartial thetal(r^2sintheta,Vthetarr) +partialpartial varphil(r^2sintheta,Vvarphirsinthetar) gr]
Agora vamos simplificar cada termo.

Passo 5

Desenvolvendo e reorganizando:
1r^2sinthetapartialpartial rl(r^2sintheta,Vrr) =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr),
1r^2sinthetapartialpartial thetal(rsintheta,Vthetar) =1rsinthetapartialpartial thetal(sintheta,Vthetar),
1r^2sinthetapartialpartial varphil(r,Vvarphir) =1rsinthetapartial Vvarphipartial varphi
Somando tudo, obtemos a forma compacta:
nablacdotvec V =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) +1rsinthetapartialpartial thetal(sintheta,Vthetar) +1rsinthetapartial Vvarphipartial varphi

Passo 6

Para ver também a forma expandida em termos de derivadas parciais simples, expandimos o primeiro termo e o segundo:
1r^2partialpartial r(r^2Vr) =partial Vrpartial r+2rVr, 1rsinthetapartialpartial theta(sintheta,Vtheta) =1rpartial Vthetapartial theta+costhetarsinthetaVtheta
Juntando tudo:
nablacdotvec V =partial Vrpartial r+2rVr +1rpartial Vthetapartial theta +costhetarsinthetaVtheta +1rsinthetapartial Vvarphipartial varphi

Resposta

nablacdotV =partial Vrpartial r+2rVr +1rpartial Vthetapartial theta +cos thetarsin thetaVtheta +1rsin thetapartial Vvarphipartial varphi,
nablacdotV =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) +1rsin thetapartialpartial thetal(sin theta,Vthetar) +1rsin thetapartial Vvarphipartial varphi

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