Mostre que sen x+\cos x=\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sin x + \cos x = \sqrt{2}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr).
O que vamos usar é a fórmula de diferença para o cosseno:
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\;\cos\beta+\sin\alpha\;\sin\beta.

Passo 2

Aplicando essa fórmula com \alpha=\tfrac{\pi}{4} e \beta=x, obtemos
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr) =\cos\tfrac{\pi}{4}\,\cos x+\sin\tfrac{\pi}{4}\,\sin x =\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2}, fica
\sqrt{2}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr) =\cos x+\sin x,
ou seja,
\sin x+\cos x =\sqrt{2}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr).

Resposta

\sin x + \cos x = \sqrt{2}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr).

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