(2 , 5) Mostre se os sistemas abaixo são lineares ou não.
d y(t)d t+2 y(t)=2(t+1) cdot d x(t)d t

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente olhar o sistema
dy(t)dt + 2,y(t) ;=; 2,(t+1),dx(t)dt
e decidir se ele é linear ou não.
Conteúdo: sistemas lineares e propriedade de superposição (adição + homogeneidade).
O que vamos usar: a definição de linearidade – se para dois sinais de entrada e e constantes valem
  1. aditividade: resposta a = soma das respostas, e
  2. homogeneidade: resposta a = vezes a resposta a .

Passo 2

Antes de aplicar, bora lembrar a teoria de um sistema linear:
Um sistema é linear se, dado
  • entrada x(t) = a,x1(t) + b,x2(t) → saída y(t) = a,y1(t) + b,y2(t) ,
  • entrada → saída ,
    Então para qualquer par de constantes a entrada
deve gerar a saída
Isso combina a aditividade (somar respostas) e homogeneidade (fatores constantes saem da resposta).

Passo 3

Vamos testar superposição direto na equação:
Suponha que
x1(t)mapsto y1(t)e x2(t)mapsto y2(t)
satisfaçam
dyidt +2,yi = 2,(t+1),dxidt, i=1,2
Agora considere
x(t)=a,x1(t)+b,x2(t)
Se o sistema for linear, a saída deve ser
y(t)=a,y1(t)+b,y2(t)
Vamos ver se ela satisfaz a equação original:
  1. Derivada: d ydt +2y = al(dy1dt+2y1r) ;+; bl(dy2dt+2y2r)
  2. Soma com dydt+2y = al[2,(t+1)dx1dtr] + bl[2,(t+1)dx2dtr] = 2,(t+1),ddt[,a,x1+b,x2,] = 2,(t+1),dxdt :
  1. Mas cada . Logo
Isso mostra que a combinação leva a , ou seja, o sistema satisfaz superposição.

Resposta

O sistema é linear.

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