Mostre se os sistemas abaixo são lineares ou não.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente olhar o sistema
e decidir se ele é linear ou não.
Conteúdo: sistemas lineares e propriedade de superposição (adição + homogeneidade).
O que vamos usar: a definição de linearidade – se para dois sinais de entrada e
e constantes
valem
Conteúdo: sistemas lineares e propriedade de superposição (adição + homogeneidade).
O que vamos usar: a definição de linearidade – se para dois sinais de entrada
- aditividade: resposta a
= soma das respostas, e - homogeneidade: resposta a
= vezes a resposta a .
Passo 2
Antes de aplicar, bora lembrar a teoria de um sistema linear:
Um sistema é linear se, dado
Um sistema é linear se, dado
- entrada
→ saída , - entrada
→ saída ,
Então para qualquer par de constantesa entrada
deve gerar a saída
Isso combina a aditividade (somar respostas) e homogeneidade (fatores constantes saem da resposta).
Passo 3
Vamos testar superposição direto na equação:
Suponha que
Suponha que
satisfaçam
Agora considere
Se o sistema for linear, a saída deve ser
Vamos ver se ela satisfaz a equação original:
- Derivada:
- Soma com
:
- Mas cada
. Logo
Isso mostra que a combinação
leva a
, ou seja, o sistema satisfaz superposição.
Resposta
O sistema é linear.